数学というより国語の誤出題 - φ URL

2023/01/13 (Fri) 17:31:15

>
>つまり、「Aさんが最初から1枚だけしか見ないと決めている確率」と「Aさんが最初から2枚見ると決めている確率」をそれぞれ考慮しなければいけないはずです。
>

そのとおりで、
回答者に「見た本人が最初から1枚だけ見ると決めていたのか、最初から2枚見ると決めていたのか」が知られている必要があります。（あるいは、それぞれの確率が）

　フロリダ問題においては、
　親が子の名前を選択した経緯ということより（それはもとより無関係でしょう）、
　出題者において
　名前が先に選ばれて親がそれに合わせて選ばれたのか、
　親が先に選ばれて子の名がそれに合わせて発見されたのか、
　が明記されねばなりません。（あるいはそれぞれの確率が）
　「フロリダ」という子の親という条件が先に選ばれた、という状況設定が明確に書かれていれば、統計的な頻度調査によるつまらない正解を計算するだけの作業となり、間違える人は少ないでしょう。
　フロリダ問題や誕生日問題のずるいところは、親を先に選んで、たまたま子の名前（誕生日）がこれこれこうと判明した、という書き方をしておきながら、「正解」には「フロリダ」（あるいは特定誕生日）限定の頻度確率を採用している点です。確率の錯覚というより、表現の錯覚（文章理解のトリック）を用いている点で、フロリダ問題は数学の正当な出題ではなく、国語の出題ミスと言うべきではないでしょうか。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - 初投稿者

2023/01/14 (Sat) 08:07:46

①名前が先に選ばれて親がそれに合わせて選ばれた
②親が先に選ばれて子の名がそれに合わせて発見された

例えば、
①は『フロリダという名の女はいるか？』『YES』のような事例、②は第１子か第２子のどちらかを出題者が任意に選ぶような事例、ということで良いでしょうか。
その場合、①と②は同じ結果になるような気がします。

---------------------------------------------------------------
【①の場合】

条件を満たす事象は以下の4通りです。

Ａ　第１子：フロリダ（女）、第２子：非フロリダ（女）
Ｂ　第１子：非フロリダ（女）、第２子：フロリダ（女）
Ｃ　第１子：フロリダ（女）、第２子：男児
Ｄ　第１子：男児、第２子：フロリダ（女）

　第１子の女におけるフロリダの存在確率＝α、
　第１子が非フロリダ（女）の時の、第２子の女におけるフロリダの存在確率＝β
　第１子が男の時の、第２子の女におけるフロリダの存在確率＝γ

とすると、

Ａ＝1/4α
Ｂ＝1/4(1-α)β
Ｃ＝1/4α
Ｄ＝1/4γ

P＝(Ａ＋Ｂ)/(Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ)
＝(α+β-αβ)/(2α+β-αβ+γ)


---------------------------------------------------------------
【②の場合】

②の場合、条件を満たす事象は以下の4通りです。

Ａ　第１子：フロリダ（女）、第２子：非フロリダ（女）、第１子を選択
Ｂ　第１子：非フロリダ（女）、第２子：フロリダ（女）、第２子を選択
Ｃ　第１子：フロリダ（女）、第２子：男児、第１子を選択
Ｄ　第１子：男児、第２子：フロリダ（女）、第２子を選択

　第１子の女におけるフロリダの存在確率＝α、
　第１子が非フロリダ（女）の時の、第２子の女におけるフロリダの存在確率＝β
　第１子が男の時の、第２子の女におけるフロリダの存在確率＝γ
　第１子又は第２子のどちらかを選択する際の確率＝1/2

とすると、

Ａ＝1/4α×1/2
Ｂ＝1/4(1-α)β×1/2
Ｃ＝1/4α×1/2
Ｄ＝1/4γ×1/2

P＝(Ａ＋Ｂ)/(Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ)
＝(α+β-αβ)/(2α+β-αβ+γ)

---------------------------------------------------------------

①と②は同じ結果になります。
①と②が同じなので、①なのか②なのか不明だとしても結果は同じです。


もちろん、②の場合で第１子と第２子の選択されやすさ(もしくは男女の選択されやすさ)に差があるなら(もしくは差があるのかどうかが不明なら)結果は変わりますが、
それでもフロリダの存在確率が消去される理由にはならないと思います。


よって、フロリダ問題の場合、いずれにしてもフロリダの名前の存在確率の影響はあると考えて良いと思います。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - 初投稿者

2023/01/14 (Sat) 08:47:39

ちなみに、①において、出題者がもう一人の性別（フロリダでない方の性別）を知っているのか知らないのかが分からない場合は？
例えば、出題者がフロリダと偶然会って知ったというような場合です。

条件を満たす事象は8通りです。

Ａ　第１子：フロリダ（女）、第２子：非フロリダ（女）、第１子と偶然会う
Ｂ　第１子：非フロリダ（女）、第２子：フロリダ（女）、第２子と偶然会う
Ｃ　第１子：フロリダ（女）、第２子：男児、第１子と偶然会う
Ｄ　第１子：男児、第２子：フロリダ（女）、第２子と偶然会う
Ｅ　第１子：フロリダ（女）、第２子：非フロリダ（女）、両方と偶然会う
Ｆ　第１子：非フロリダ（女）、第２子：フロリダ（女）、両方と偶然会う
Ｇ　第１子：フロリダ（女）、第２子：男児、両方と偶然会う
Ｈ　第１子：男児、第２子：フロリダ（女）、両方と偶然会う

　第１子の女におけるフロリダの存在確率＝α、
　第１子が非フロリダ（女）の時の、第２子の女におけるフロリダの存在確率＝β
　第１子が男の時の、第２子の女におけるフロリダの存在確率＝γ
　第１子又は第２子のどちらかと偶然会う確率＝δ
　両方と偶然会う確率＝ε
　
とすると、

Ａ＝1/4α×δ
Ｂ＝1/4(1-α)β×δ
Ｃ＝1/4α×δ
Ｄ＝1/4γ×δ
Ｅ＝1/4α×ε
Ｆ＝1/4(1-α)β×ε
Ｇ＝1/4α×ε
Ｈ＝1/4γ×ε

P＝(Ａ＋Ｂ＋Ｅ＋Ｆ)/(Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ)
＝(α+β-αβ)/(2α+β-αβ+γ)

ということで、やはり同じ結果です。



②において、出題者がもう一人の性別（フロリダでない方の性別）を知っているのか知らないのかが分からない場合は？（偶然会って知った場合）

Ａ　第１子：フロリダ（女）、第２子：非フロリダ（女）、第１子と偶然会う
Ｂ　第１子：非フロリダ（女）、第２子：フロリダ（女）、第２子と偶然会う
Ｃ　第１子：フロリダ（女）、第２子：男児、第１子と偶然会う
Ｄ　第１子：男児、第２子：フロリダ（女）、第２子と偶然会う
Ｅ　第１子：フロリダ（女）、第２子：非フロリダ（女）、両方と偶然会う（第１子を選択）
Ｆ　第１子：非フロリダ（女）、第２子：フロリダ（女）、両方と偶然会う（第２子を選択）
Ｇ　第１子：フロリダ（女）、第２子：男児、両方と偶然会う（第１子を選択）
Ｈ　第１子：男児、第２子：フロリダ（女）、両方と偶然会う（第２子を選択）


Ａ＝1/4α×δ
Ｂ＝1/4(1-α)β×δ
Ｃ＝1/4α×δ
Ｄ＝1/4γ×δ
Ｅ＝1/4α×ε×1/2
Ｆ＝1/4(1-α)β×ε×1/2
Ｇ＝1/4α×ε×1/2
Ｈ＝1/4γ×ε×1/2

P＝(Ａ＋Ｂ＋Ｅ＋Ｆ)/(Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ)
＝(α+β-αβ)/(2α+β-αβ+γ)

なので、これもやはり同じになりますね。


第１子と第２子の偶然会いやすさ(もしくは男女の偶然会いやすさ)が違う可能性もあると考えたら、上式の通りにはならないですが、
いずれにしても、フロリダの名前の存在確率が計算上から消えることはまずないと思われます。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - ξ

2024/03/31 (Sun) 09:05:20

これって結局合ってるのですか？

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - φ

2024/04/01 (Mon) 13:28:33

　だいぶ経っているので思考経路を忘れてしまいましたが、

①名前が先に選ばれて親がそれに合わせて選ばれた
②親が先に選ばれて子の名がそれに合わせて発見された

　この二つで結果が同じになる、というのは誤りです。

同じ名前を二人に付けることはないと仮定すると、子が二人いるとわかっている場合
女子におけるフロリダの存在確率＝α　として

①では、通常の存在確率が正解なので、
〈初投稿者〉さんの計算に従って
（二人とも女子）／（一人がフロリダ）＝（２－α）／（４－α）

②では、親の選ばれ方は任意であり、名はあと決めであって、どんな名前でも【まったく同じ問題】が成り立つので（そうでなければ①と弁別的な「親が先に決められた」という条件が無意味になる）、
（二人とも女子）／（一人がフロリダ）＝１／３

以上が正解だと思われます。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - ξ

2024/04/01 (Mon) 22:33:38

②はそうなのですか？
「任意に選んだ親が女児の名前を一人提示したとき、もう一人も女である確率は？」ならそうなのかもしれませんが・・・（そうすると答えは１／２ ？？）。
提示された名前が結果的にフロリダだったという事実は問題文で与えられているので、フロリダ以外の名前で出題される可能性は本問とは無関係な気がします。。。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - φ

2024/04/02 (Tue) 14:48:09

　失礼しました、②は１／２でしたね。
https://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/records/16648
https://blog.goo.ne.jp/3qaiujrrwc87ph/e/6d715a33725760e863e32b84f9242dec
　「一人の名前を教えてください」ではなく「女子がいれば名前を教えてください」のような形で「フロリダ」が判明したのであれば１／３ですが。

　フロリダ問題は、誕生日問題と同じ問題と考えるならば、②の正解は１／２です。そして実際、名前の統計学の問題ではなく、数学の問題として、誕生日問題と同じ問題と考えるべきだと思われます。「一定程度珍しい名前」であればどれでも同じ問題が成立したのです。
　誕生日問題は、予め指定された誕生日と一致した、というのではなく、後から誕生日を言うだけですから、具体的な日付は問題に関係ありません。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - ξ

2024/04/02 (Tue) 22:27:16

ご返答くださりありがとうございます。
誕生日問題の②が1/2になるのはその通りだと思います。
男女問題や誕生日問題などで①と②の結果が異なる根本原因は、第1子と第2子のダブり（ぞろ目？）の部分にあるのかと思っています。
（男女問題なら第1子と第2子が両方とも「女」、誕生日問題なら第1子と第2子が両方とも「4月2日生まれの女」となることがある。）

フロリダ問題が特殊なのは、同じ名前を二人に付けることはないという暗黙のルールがあるためで、誕生日問題とは少し事情が異なるような気がしています。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - ξ

2024/04/05 (Fri) 20:09:33

②は事前確率（出題のルールだけが決まっている状態で、問題に採用される名前は決まっていない）なら、１／２。
ルール通りに試行して、「フロリダ」が選ばれたという情報が提示された瞬間に（２－α）／（４－α）に変わるのではないでしょうか。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - ξ

2024/04/05 (Fri) 20:53:36

間違えました。
②の事前確率（出題のルールだけが決まっている状態で、問題に採用される名前は決まっていない）は１／４です。選ばれる性別も決まっていないと考えれば、二人とも女子は１／４。
しかし、男子が選ばれた場合は問題として成立しないので、男子の場合は女子が出るまでやり直すルールだとすれば、二人とも女子（事前確率）は１／３。

（そういえば、２人の子供問題の②も、男子が選ばれたのにも関わらず「二人とも女子の確率は？」の出題はあり得ないと考えると、女子が選ばれた時の二人とも女子の確率は１／３なのでしょうか・・・。女子しか選ばれないカラクリが存在すると考えた方が自然です。
男子の時は臨機応変に「二人とも男子の確率は？」に変更するなら１／２ですが、出題自体が気まぐれだと、「一人が女でもう一人は男の確率は？」のように出題される可能性も考えないといけなくなります。。。）

「フロリダという名の女子」が選ばれたという情報が提示された後でも、もし男子が選ばれていたらどうするつもりだったのかという疑問が付きまといますね。
誰が選ばれても「二人とも女子の確率は？」の出題で突き進むのであれば、「フロリダという名の女子」が判明した瞬間に（２－α）／（４－α）ということになるでしょうが・・・。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - φ

2024/04/06 (Sat) 04:37:55

「男子が選ばれた場合は問題として成立しないので、男子の場合は女子が出るまでやり直すルールだとすれば、二人とも女子（事前確率）は１／３。」

　↑
　これにちなんで
　↓

元の「二人の子ども問題」について確認すると、
問題設定は
二人の子の親限定
子どものうち任意の一人の性別を聞いたところで二人ともその性別である確率を求める

◎自発的に言わせる。男女どちらが言われても確率問題として採用する予定で、「女子」と言われた場合
　　↑これが自然な解釈

Ｐ（（女、女）｜女子と言われる）＝Ｐ（（女、女）＆女子と言われる）／Ｐ（女子と言われる）＝1/4／1/2＝1/2

◎「女子はいますか」「います」となった場合（「いません」の場合は確率問題成立せず）
　↑場合によっては自然な解釈

Ｐ（（女、女）｜女子いると言われる）＝Ｐ（（女、女）＆女子いると言われる）／Ｐ（女子いると言われる）＝1/4／3/4＝1/3


◎自発的に「女子」と言う親に当たったところで初めて確率問題にする場合
　↑（無理な解釈ではあるが・・・）

Ｐ（（女、女）｜女子と言われる）
＝Ｐ（（女、女）＆女子と言われる）／Ｐ（女子と言われる）＝

　↑この場合、「女子はいますか」「います」と違って、分母が１で分子が1/4になるような気がするのです。
　すると計算上1/4になってしまうのですが、
　しかし1/4というのはおかしいな・・・
　この場合の正解は1/3のはずですよね・・・
　いま頭が働かないのでちょっと考えてみます。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - ξ

2024/04/06 (Sat) 23:17:54

今日の書き込みは間違いが多かったので削除しました。

改めて、２人の子供問題で「女はいますか？」「います」のパターンについてです。
「女はいますか？」の質問に対し、「いません」と回答されると問題が成立しなくなりますが、そもそもそんな不確定要素のある問題を出題すること自体が不自然とも考えられないでしょうか。
むしろモンティホール問題のように、出題者は答えを知った上で「女はいますか？」の質問をして見せていると考えた方が自然かもしれません。
出題者は答えを知っていて、必ず「います」の回答が得られるように質問すると考えれば辻褄が合います。

選ばれた親の子供が
・「女－女」なら、確率１で「女はいますか？」と質問する
・「男－男」なら、確率１で「男はいますか？」と質問する
・「男－女」or「女－男」なら、「女はいますか？」または「男はいますか？」を任意に選んで質問する

この場合、「女はいますか？」→「います」→「二人とも女の確率は？」の答えは１／２となりますね。
これならそこそこ自然な解釈のような気がします。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - ξ

2024/04/09 (Tue) 22:33:58

◎自発的に「女子」と言う親に当たったところで初めて確率問題にする場合
　（「男子」を選択する親に当たった場合は、「女子」を選択する親に当たるまで無限にやり直す）

　↓

これは1/2と思われます。以下、証明です。

事象A：第1子(女)、第2子(女)、女子を選択
事象B：第1子(女)、第2子(男)、女子を選択
事象C：第1子(男)、第2子(女)、女子を選択
事象D：その他（男子を選択）

事象Dが起こった時のやり直しの事象をD1、D2、D3・・・とし、全事象を列記すると、

事象D1(A)：男子を選択→やり直し→事象A
事象D1(B)：男子を選択→やり直し→事象B
事象D1(C)：男子を選択→やり直し→事象C

事象D2(A)：男子を選択→やり直し→男子を選択→やり直し→事象A
事象D2(B)：男子を選択→やり直し→男子を選択→やり直し→事象B
事象D2(C)：男子を選択→やり直し→男子を選択→やり直し→事象C

事象D3(A)：男子を選択→やり直し→男子を選択→やり直し→男子を選択→やり直し→事象A
事象D3(B)：男子を選択→やり直し→男子を選択→やり直し→男子を選択→やり直し→事象B
事象D3(C)：男子を選択→やり直し→男子を選択→やり直し→男子を選択→やり直し→事象C
　・
　・
　・

それぞれの事象の確率は、

P(A)＝1/2×1/2×1＝1/4
P(B)＝1/2×1/2×1/2＝1/8
P(C)＝1/2×1/2×1/2＝1/8
P(D)＝1/2

P(D1(A))＝P(D)×P(A)
P(D1(B))＝P(D)×P(B)
P(D1(C))＝P(D)×P(C)

P(D2(A))＝P(D)^2×P(A)
P(D2(B))＝P(D)^2×P(B)
P(D2(C))＝P(D)^2×P(C)

P(D3(A))＝P(D)^3×P(A)
P(D3(B))＝P(D)^3×P(B)
P(D3(C))＝P(D)^3×P(C)
　・
　・
　・


事象Dが起こらなくなるまで繰り返す場合の確率をP'で表記すると、

P'(A)＝P(A)+P(D1(A))+P(D2(A))+P(D3(A))+・・・
　　＝P(A)×Σ(P(D)^k) (k=0,1,2,3,...,∞)
P'(B)＝P(B)+P(D1(B))+P(D2(B))+P(D3(B))+・・・
　　＝P(B)×Σ(P(D)^k) (k=0,1,2,3,...,∞)
P'(C)＝P(C)+P(D1(C))+P(D2(C))+P(D3(C))+・・・
　　＝P(C)×Σ(P(D)^k) (k=0,1,2,3,...,∞)

無限等比級数の公式を適用し、

P'(A)＝P(A)/(1-P(D))＝(1/4)/(1-1/2)＝1/2
P'(B)＝P(B)/(1-P(D))＝(1/8)/(1-1/2)＝1/4
P'(C)＝P(C)/(1-P(D))＝(1/8)/(1-1/2)＝1/4

求める確率（二人とも女である確率）はP'(A)なので、
P'(A)＝1/2

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - φ

2024/04/11 (Thu) 02:36:40

ありがとうございます。

改めて考えてみると、ごく簡単に計算できる問題のようです。

Ａ　自発的に「女子」と言う親に当たったところで初めて確率問題にする場合
　（「男子」を選択する親に当たった場合は、「女子」を選択する親に当たるまで無限にやり直す）

男二人の親は必ず「男」と言う。除外。
男、女一人ずつの親のうち半数が「女」と言う。採用。
女二人の親は必ず「女」と言う。採用。

「女」と言う親は、男一人女一人の親のうち半数か、または女二人の親。
うち、女二人の親に当たった確率は、1/2

Ｂ　親一人だけに尋ねて
自発的に「女子」と言う親に当たったら「女二人の確率」を求める問題とし、
自発的に「男子」と言う親に当たったら「男二人の確率」を求める問題とする場合

男二人の親は必ず「男」と言う。採用。
男、女一人ずつの親のうち半数が「女」と言う。採用。
女二人の親は必ず「女」と言う。採用。

実際は、「女」と言った。
「女」と言う親は、男一人女一人の親のうち半数か、または女二人の親。
うち、女二人の親に当たった確率は、1/2

どうやらＡとＢは同じ問題でしたね。

前回、
「女子はいますか」「います」と違って、分母が１で分子が1/4になるような気がするのです。
　すると計算上1/4になってしまうのですが、・・・

と書いたのは誤りで、
どの親であれ　「女」と言う確率は1/2なので
分母が1/2で分子が1/4
なのでした。

「ただ一人にだけ尋ねて女と答えられた」と「女という答えがあるまで続ける」は、確率計算に違いを生みません。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - ξ

2024/04/20 (Sat) 12:19:11

「ただ一人にだけ尋ねて女と答えられた」は、女と答えられた段階でベイズの定理が発動するのに対し、
「女という答えがあるまで続ける」は事前確率の時点で答えが決まっていて、条件付き確率の問題ではないという違いはありますね。
いずれにしても、両者の計算は全く同じなので、答えは同じになりますね。

話を戻しますが、フロリダ問題において、以下2つは同じになりそうです。
①名前が先に選ばれて親がそれに合わせて選ばれた
②親が先に選ばれて子の名がそれに合わせて発見された

例えば、A～Dの家族が以下の数存在しているとします。

事象A：第1子(女)、第2子(女：フロリダ)　→2万家族
事象B：第1子(女：フロリダ)、第2子(女)　→4万家族
事象C：第1子(男)、第2子(女：フロリダ)　→4万家族
事象D：第1子(女：フロリダ)、第2子(男)　→4万家族

ここで、全家族にどちらかの子供を任意に選択させた場合、フロリダを選ぶ家族数は以下の数となるでしょう。

事象A'：第1子(女)、第2子(女：フロリダ)　→1万家族
事象B'：第1子(女：フロリダ)、第2子(女)　→2万家族
事象C'：第1子(男)、第2子(女：フロリダ)　→2万家族
事象D'：第1子(女：フロリダ)、第2子(男)　→2万家族

2人の子供を持つ家族数が仮に1000万家族であるとすると、
②に従って任意に親を選んだ時に事象A'～D'(フロリダが選ばれる)に当たる確率は

P(A')=1/1000
P(B')=2/1000
P(C')=2/1000
P(D')=2/1000

フロリダを選ぶ家族に当たった時に二人とも女子である確率は、P=3/7


一方、①に従って「フロリダはいますか？」と聞いて「はい」と言われた時に、二人とも女子である確率も、P=3/7

①と②は同じ結果になりそうです。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - φ

2024/04/21 (Sun) 14:53:37

　↑女子が（残された名前の中から）フロリダと名づけられる確率が常に1/2のときの計算でしょうか。

　フロリダ問題の正解が、設定のバリエーションによってそれぞれ1/2, 1/3, 3/7となるような一般形を次のように考えてみました。
「フロリダはいますか」という問いに対して「はい」と答えられた場合を一般形として考える。
女子がフロリダと名づけられる確率をαとすると

Ｐ（女女｜います）＝Ｐ（います｜女女）Ｐ（女女）／Ｐ（います）
＝1/4（１－（１－α）２）／（1/4（１－（１－α）２）＋α／４＋α／４）
＝（１－（１－α）２）／（（１－（１－α）２）＋２α）
＝（２α－α２））／（２α－α２＋２α）
＝（２－α））／（４－α）

　特殊な場合は、
　フロリダが任意の女子名のとき（「フロリダ」のかわりに「何らかの女子名」とする場合）
　α＝１
　◆「女子はいますか」「います」の問題に同化
Ｐ（女女｜います）＝（２－α））／（４－α）＝1/3

　フロリダが特定の女子名のとき（「フロリダ」のかわりに「このケースの女子名限定」とする場合）
　たとえばフロリダが特定の選ばれた親の子という規約のとき
　α≈０
　◆先に名前が選ばれるあるいは親が選ばれる場合に同化
Ｐ（女女｜います）＝（２－α））／（４－α）≈1/2

　◆女子がフロリダと名づけられる確率が常に1/2のとき（長女が次女の二倍の確率でフロリダである場合）
Ｐ（女女｜います）＝（２－α））／（４－α）
＝3/7

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - ξ

2024/04/21 (Sun) 23:35:29

①フロリダが任意の女子名のとき（「フロリダ」のかわりに「何らかの女子名」とする場合）
②フロリダが特定の女子名のとき（「フロリダ」のかわりに「このケースの女子名限定」とする場合）
　たとえばフロリダが特定の選ばれた親の子という規約のとき

→これは両方ともＰ＝（２－α）／（４－α）ではないでしょうか。
　フロリダ問題においては、「一人がフロリダという名の女子である」という条件が既に与えられているからです。



①フロリダが任意の女子名のとき（「フロリダ」のかわりに「何らかの女子名」とする場合）

　求める確率が「事前確率」なら1/3でよいと思います。
　つまり、問題文が次のような場合は1/3になります。

　『あらかじめ女子名をランダムに選び、「〇〇（女子名）はいますか？」と質問したら「います」と返答されたとき、2人とも女子である確率は？』
　　⇒ P＝1/3

　ところが、次の問題文の場合は確率がＰ＝（２－α）／（４－α）に変化します。

　『あらかじめ女子名をランダムに選び、「〇〇（女子名）はいますか？」と質問したら「います」と返答されたとき、2人とも女子である確率は？ ただし、あらかじめランダムに選んだ女子名は「フロリダ」であるとする。』
　　⇒ Ｐ＝（２－α）／（４－α）

　質問する名前が「フロリダ」に決まった瞬間に確率が更新され、Ｐ＝（２－α）／（４－α）になります。
　フロリダ問題は後者が妥当し、選んだ名前が「フロリダ」に決まった後の「事後確率」と考えた方が適切と思われます。


②フロリダが特定の女子名のとき（「フロリダ」のかわりに「このケースの女子名限定」とする場合）
　たとえばフロリダが特定の選ばれた親の子という規約のとき

　これも「事前確率」なら1/2ですかね。
　次の問題文であれば1/2になるでしょう。

　『任意に選んだ親が女児の名前を一人提示したとき、もう一人も女である確率は？』
　　⇒ P＝1/2

　これも、次の問題文の場合はＰ＝（２－α）／（４－α）に変化します。

　『任意に選んだ親が女児の名前を一人提示したとき、もう一人も女である確率は？ ただし、提示された名前は「フロリダ」であったとする。』
　　⇒ Ｐ＝（２－α）／（４－α）

　やはり、フロリダ問題の場合は、提示された名前が「フロリダ」だと分かった後の「事後確率」と考えた方が適切でしょう。

結果的に「フロリダ」を知ったという情報が与えられているのであれば、どのような過程で「フロリダ」を知ったかはあまり関係ないと思われます。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - ξ

2024/04/22 (Mon) 10:14:23

『あらかじめ女子名をランダムに選び、「〇〇（女子名）はいますか？」と質問したら「います」と返答されたとき、2人とも女子である確率は？』は1/3ではないですね。ランダムな選び方に依存します。
理由は後で書きます。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - oktb

2024/04/22 (Mon) 22:55:20

ξさん、はじめまして。ちょっと気になったので、横からすみません。

①フロリダが任意の女子名のとき（「フロリダ」のかわりに「何らかの女子名」とする場合）
とφさんが書かれているのは、

「何らかの女子名の子がいますか？」と質問するということではないですか？
それで、

>　α＝１
　◆「女子はいますか」「います」の問題に同化
Ｐ（女女｜います）＝（２－α））／（４－α）＝1/3

となる。

ご迷惑でしたらスルーしてください。

また、私の理解が違っている場合は、ご両者に対しすみません。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - φ

2024/04/23 (Tue) 12:36:31

私については、oktbさんの理解の通りです。

Ｐ＝（２－α）／（４－α）は全設定において共通で、
設定に応じαの値を解釈することで
全設定において正解を導く、といった一般的定式化が目的でした。

Re: コイン問題、フロリダ問題の続き - ξ

2024/04/26 (Fri) 23:15:58

『「何らかの女子名の子がいますか？」と質問したら「います」と返答されたとき、2人とも女子である確率は？』なら1/3ですね。
厳密にいえば、女子名であっても実際の性別は男子ということもあるでしょうが、確率への影響は誤差レベルのはずです。
答えは近似的に1/3になると考えて差し支えないでしょう。


一方、『あらかじめ女子名をランダムに選び、「〇〇（女子名）はいますか？」と質問したら「います」と返答されたとき、2人とも女子である確率は？』ですが、これは意外と難解ですね。
少し考え込んで時間がかかってしまいました。

この問題において、「います」と返答される事象と確率を列挙して考えます。
スレッドの先頭の方にある書き込みを踏襲して、各女子名の存在確率などを次のようにおきます。

・第1子の女における〇〇（女子名）の存在確率＝αi
・第1子が女の時の、第2子の女における〇〇（女子名）の存在確率＝βi
・第1子が男の時の、第2子の女における〇〇（女子名）の存在確率＝γi
・あらかじめランダムに選んだ女子名(質問する女子名)が〇〇である確率＝δi

ここで
・Σαi=1、Σβi=1、Σγi=1　(i=1,2,3,...,N)
・0<Σδi≦1　(i=1,2,3,...,N)

「います」と返答される事象とその確率を列挙すると、

【女子名1を選ぶ】
事象A1：第1子(女：女子名1以外)、第2子(女：女子名1)　→1/4(1-α1)β1δ1
事象B1：第1子(女：女子名1)、第2子(女：女子名1以外)　→1/4α1δ1
事象C1：第1子(男)、第2子(女：女子名1)　→1/4γ1δ1
事象D1：第1子(女：女子名1)、第2子(男)　→1/4α1δ1

【女子名2を選ぶ】
事象A2：第1子(女：女子名2以外)、第2子(女：女子名2)　→1/4(1-α2)β2δ2
事象B2：第1子(女：女子名2)、第2子(女：女子名2以外)　→1/4α2δ2
事象C2：第1子(男)、第2子(女：女子名2)　→1/4γ2δ2
事象D2：第1子(女：女子名2)、第2子(男)　→1/4α2δ2

【女子名3を選ぶ】
事象A3：第1子(女：女子名3以外)、第2子(女：女子名3)　→1/4(1-α3)β3δ3
事象B3：第1子(女：女子名3)、第2子(女：女子名3以外)　→1/4α3δ3
事象C3：第1子(男)、第2子(女：女子名3)　→1/4γ3δ3
事象D3：第1子(女：女子名3)、第2子(男)　→1/4α3δ3
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「〇〇（女子名）はいますか？」と質問したら「います」と返答されたとき、2人とも女子である確率は、

P＝(A1＋B1＋A2＋B2＋A3＋B3＋・・・)/(A1＋B1＋C1＋D1＋A2＋B2＋C2＋D2＋A3＋B3＋C3＋D3＋・・・)
＝Σ[(αi+βi-αiβi)δi]/Σ[(2αi+βi-αiβi+γi)δi] (i=1,2,3,...,N)

確率Pは1/3に収束せず、α、β、γ、δの確率に依存するようです。


ちなみに、ランダムに選んだ女子名が「フロリダ」である場合、若しくは「フロリダ」を選ぶことが初めから確定している場合は、
P＝(α+β-αβ)/(2α+β-αβ+γ)　もしくは近似的に P＝(2-α)/(4-α) が正解と考えて問題ないでしょう。