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2人の子供問題 - catman
2022/11/08 (Tue) 12:43:25
2人の子供問題については以下のように考えています。間違いがあればご指摘ください。
2人の子供問題は子供の一人をどこまで特定するかで確率は1/2から1/3まで変化します。子供二人の家庭を前提として以下に例示しますが子供が二人とも女の子である確率は以下の通りです。
A:特定なし→確率1/3
・スミス氏に女の子がいますかと聞くといるという。
・スミス氏の家を訪れたらひな人形が飾ってあった。
・表に男の子、裏に女の子と言う文字が書かれた2枚のコインを投げたら「女の子」が見えた
B:完全特定→確率1/2
・道を歩いていたら女の子を連れているスミス氏に出会った
・スミス氏の家に電話を掛けたら女の子が出た。
・フロリダ問題(第1子フロリダと第2子フロリダの割合に差をつける理由なし)
C:不完全特定→確率は1/2と1/3の間(特定が強くなれば1/2に近づく)
・火曜日生まれの女の子 13/27
(火曜日生まれの女の子がいるかと聞いたらいるという)
・12月生まれの女の子 23/47
(12月生まれの女の子がいるかと聞いたらいるという)
・一般解は(2x-1)/(4x-1)
xは特定条件(週なら7、月なら12、午前午後なら2)
2022/11/08 (Tue) 19:06:33
A
・表に男の子、裏に女の子が書かれた2枚のコインを投げたら「女の子」が見えた
という場合、2枚とも「女の子」である確率は1/3ではなく1/2ですね。
P(二枚とも女子|女子見えた)=P(女子見えた|二枚とも女子)P(二枚とも女子)/P(女子見えた)=1*1/4/1/2=1/2
●1/3になるのは、「女の子は出てますか」と人に聞いて、「出てます」と答えが返ってきた場合
P(二枚とも女子|「女子出てます」)=P(「女子出てます」|二枚とも女子)P(二枚とも女子)/P(「女子出てます」)=1*1/4/3/4=1/3
●「出てる性別を一つ教えてください」「女の子」の場合は分母が1/2なので正解1/2です。
Re: 2人の子供問題 - catman
2022/11/08 (Tue) 19:54:35
φ様
>A
>・表に男の子、裏に女の子が書かれた2枚のコインを投げたら「女の子」が見えた
> という場合、2枚とも「女の子」である確率は1/3ではなく1/2ですね。
それは違うと思います。
「女の子」が見えたと言うことは
2つのコインが
女の子 女の子
女の子 男の子
男の子 女の子
のいずれかの場合ですので2枚とも「女の子」である確率は1/3です。
>●1/3になるのは、「女の子は出てますか」と人に聞いて、「出てます」と答えが返ってきた場合
と同じことです。
ちなみに2人とも女の子である確率が1/2になる例については
11/03 (Thu) 07:35:46書き込みでも例示しています。
>例えば、各々、表に男、裏に女と書いてある2枚のコインを投げた。
>1枚のコインを見ると女と書かれている。よく見るとフロリダという名前も書いてある。
>もう1枚のコインは扉の陰に行き表か裏かわからない。
>そのコインは表(男)か裏(女)かと問えばいずれも確率1/2ですよね。
>フロリダという名前が珍しいかどうかは関係ありません。
2022/11/08 (Tue) 20:34:04
11/03 (Thu) 07:35:46書き込みは、正しいですね。
>
>例えば、各々、表に男、裏に女と書いてある2枚のコインを投げた。
>1枚のコインを見ると女と書かれている。よく見るとフロリダという名前も書いてある。
>もう1枚のコインは扉の陰に行き表か裏かわからない。
>そのコインは表(男)か裏(女)かと問えばいずれも確率1/2ですよね。
>
そして今回の正解も1/2です(状況は異なりますが)。
今回の文面
▲表に男の子、裏に女の子が書かれた2枚のコインを投げたら「女の子」が見えた
の意味が
「女子は出てますか」「出てます」の場合、正解1/3ですが、
▲の文面からはそのような意味は読み取れず、以下の意味になります。
「何が出てますか、一つ教えてください」「女子が出てます」
P(二枚とも女子|「女子出てます」)=P(「女子出てます」|二枚とも女子)P(二枚とも女子)/P(「女子出てます」)=1*1/4/1/2=1/2
P(「女子出てます」)は(「見えた面」として自発的に「女子」と言われる確率は)3/4ではなく1/2であることに御注意ください。
「見えた面」のうち「女子」を選ぶ確率は、事前確率として1/2なのですから。
それを分母としたベイズ計算の結果、正解は1/2です。
「女子は出てますか」「出てます」と同等の設定にするなら(正解を1/3にしたいなら)、▲をそう読めるように記さねばなりません。
Re: 2人の子供問題 - catman
2022/11/08 (Tue) 21:01:38
φ様
なるほど
女の子 女の子 →女の子が見えたと言う確率は1
女の子 男の子 →女の子が見えたという確率は1/2
男の子 女の子 →女の子が見えたという確率は1/2
なので二人とも(二つとも)女の子である確率は1/(1+1/2+1/2)=1/2ですね。
失礼しました。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/09 (Wed) 23:22:47
「Aさんの子供(2人)のうち片方が女であるとき、もう一方の性別は?」
① 良く分からないので当てずっぽうで「男」と答えた。
⇒ 確率1/2 (2択問題のため)
② 男女の比率は大体同じなんじゃないの?と思いながら「男」と答えた。
⇒ 確率1/2
③ 少なくとも片方が女と言うことは、「女・女」、「男・女」、「女・男」の中のどれかということだから、「男」の可能性が高いと考えた。
⇒ この推理は適切でない可能性がある。
④ 少なくとも片方が女ということだが、この情報はどのような方法で得たものなのかが不明なので、現時点では活用するのが難しいと判断した上で「男」と答えた。
⇒ 確率1/2
⑤ 「少なくとも片方が女」という情報がどのようにして得られたものであるか確認したところ、Aさん本人から直接聞いた情報であることが判明。
そのため、「女・女」、「男・女」、「女・男」の組み合わせの中のいずれかであるという理由から、「男」の可能性が高いと考えた。
⇒ 確率2/3
⑥ 「この問題の答えを知っているのか」と出題者に質問したところ「知っている」との回答を得た。これにより、出題者は両方の性別を把握した上で出題していると判断でき、答えは「女・女」、「男・女」、「女・男」の中のどれかのはずだから、「男」の可能性が高いと考えた。
⇒ 確率2/3
⑦ 少なくとも片方が女に該当する組合せは「女・女」、「男・女」、「女・男」の3種であり、これら3種の人口の割合はほぼ等しいはずである。
よって、女児2人の家族よりも、男児&女児の家族の方が人口割合が多いので、「男」と答えた方が当たる可能性が高いと考えた。
⇒ 確率2/3
⑧ 少なくとも片方が女であるという情報はAさんから直接得た情報であるが、回答者にはこの情報がどのような方法で調査されたものかは知らされていない。
よって、回答者の立場としては情報不十分のため、現時点ではこの情報を活用するのが難しいと判断した上で、とりあえず「男」と答えた。
⇒ 確率1/2
⑨ 少なくとも片方が女という情報は、Aさんの知り合いから聞いた情報であることが判明。その上で、「女・女」、「男・女」、「女・男」の中のいずれかであるとの理由により、「男」の可能性が高いと考えた。
⇒ 知り合いがどのようなシチュエーションで「少なくとも片方が女」と知ったかが不明。よってこの推理は適切でない可能性がある。
⑩ 少なくとも片方が女という情報は、Aさんの知り合いから聞いた情報であることが判明。この知り合いはAさんの子供の性別を知らなかったが、たまたま一人と会って一方が女であることが分かったのだいう。
つまり、条件を満たす組合せは次の4通りのはずである。
A 第1子 女(たまたま会う)、第2子 女(会わない)
B 第1子 女(会わない)、 第2子 女(たまたま会う)
C 第1子 女(たまたま会う)、第2子 男(会わない)
D 第1子 男(会わない)、 第2子 女(たまたま会う)
たまたま会う確率を一律でαと考えると、A~Dの確率はいずれも 1/4α*(1-α)となるはずである。従って、もう一方が「男である可能性」と「女である可能性」は等しくなるはずだと考えた
⇒ 確率1/2
(ただし、たまたま会う確率が一律でαで良いかどうかはシチュエーションにもよるため、状況によっては、この推理は適切でない可能性がある。例えば、女の子向けのイベント会場でたまたま会ったなら、男児と女児でたまたま会う確率が異なる。)
⑪ 少なくとも片方が女という情報は、Aさんの知り合いから聞いた情報であることが判明。この知り合いはAさんの子供の性別を知らなかったが、たまたま一人と会って一方が女であることが分かったのだいう。
ただ、回答者はこの「たまたま会った」という情報を使わずに、⑦と同様の考察によって「男」の可能性が高いと考えた。
⇒ 確率2/3
これで合っていますでしょうか?
Re: 2人の子供問題 - catman
2022/11/10 (Thu) 04:24:14
「Aさんの子供(2人)のうち片方が女であるとき、もう一方の性別は?」
確率の問題は「問題文」に忠実に解釈すべきです。
問題文には「のうち片方が女」と書かれています。
つまり明確に一方の子供の性別を特定していますので他方の子供の性別が男か女かは確率1/2です。
・道を歩いていたら女の子を連れているスミス氏に出会った
・フロリダ問題
と実質的に同じ問題です。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/10 (Thu) 07:40:46
問題文は上手く書けなかったかもしれません。すみません。
国語的解釈の話ならご勘弁を。
シチュエーション別の推理方法という観点でご確認ください。
Re: 2人の子供問題 - catman
2022/11/10 (Thu) 09:12:01
国語的解釈の話とおっしゃる意味が分かりませんが、問題文は明確ですよ。
安心してください。
私の回答はあくまで問題文に対してです。
問題文から乖離したシチュエーションとやらについては、私は読む気力がありませんのでご勘弁ください。φさんが回答してくださるかもしれません。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/10 (Thu) 23:51:52
片方の性別が確定しているので、この問題は単に一人の性別を問うだけの問題と同じという解釈でしょうか?
そのように推理して答えを導き出したのであれば、確率は間違いなく1/2になります。
解法の1つとして、否定されるものではありません。
上述の⑫として、次を追加したいと思います。
⑫ 片方の性別が特定されているので、この問題は一人の性別を問う問題と本質的には変わらないはずであると考えた上で「男」と回答した。
⇒ 確率1/2
Re: 2人の子供問題 - φ
2022/11/13 (Sun) 01:46:36
「片方の」と言った時点で、言葉の標準的使い方からして、一人を特定していることになりますね。よって正解は1/2でしょう。
興味深いのは、特定無しで「少なくとも一人は女子」あるいは「女子がいる」と言った場合です。
「女子」という発声をあらかじめ決めずに(「男子」という発声の可能性もある状態で)、自由に発言した場合は、
「二子の中に女子がいる」という発言に条件づけた〈二子とも女子である確率〉は、1/2。
「女子」という発声を決めておいて(「男子」と発声しないと決めておいて)、「女子がいる」と発言できる家族に出会った場合に限りこの問いを出した場合は、
「二子の中に女子がいる」という発言に条件づけた〈二子とも女子である確率〉は、1/3。
換言すれば、
◎ 家族に合わせて問いを出した場合は、1/2。
◎ 問いに合わせて家族を調達した場合は、1/3。
さらに換言すれば、
選択の母集団がただ一つの家族だった場合、
◎現実に基づく経験的事実の報告の場合は(親自身が我が子について言う場合のように)、1/2。
◎規約的事実の提示の場合は(フィクションとして作られた問いのように)、1/3。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/13 (Sun) 06:57:34
やはり、私の日本語力の問題なのでしょうか。
誤解があるのであれば、問題文を以下に訂正いたします。
「Aさんの子供(2人)のうち少なくとも一人が女であるとき、もう一方の性別は?」
でも、正直何が違うのかは良く分かっていません。
「片方の」と言っても、第1子、第2子のどちらであるかに言及しなければ、「少なくとも一人が」と同じ意味になるような気がしますが・・・。
とはいえ、文法力には自信が無いので訂正いたします。
Re: 2人の子供問題 - catman
2022/11/13 (Sun) 10:13:46
せっかく明確だった問題文をかえって曖昧にしてしまったように思います。
「Aさんの子供(2人)のうち少なくとも一人が女であるとき、もう一方の性別は?」
これを
「Aさんの子供(2人)のうち少なくとも一人が女であるとき、子供が二人とも女である確率は?」
の意味に解釈すると確率は1/3です。
一方、「もう一方の」と書いてあるので女の子一人を特定しているとも読めます。
第1子 第2子
女の子A 女の子B
女の子C 男の子
男の子 女の子D
より
女の子A のもう一方は女の子
女の子B のもう一方は女の子
女の子C のもう一方は男の子
女の子D のもう一方は男の子
なのでもう一方の性別が女の子か男の子かの確率はともに1/2
とすることもできます。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/13 (Sun) 11:45:07
① 家族に合わせて問いを出した場合は、1/2。
② 問いに合わせて家族を調達した場合は、1/3。
これらについては、問題の出題方法について、出題者側と回答者側で共通認識があることが前提になると思います。
出題者側が①と②のどちらの方法で出題したとしても、回答者側がそれを認識していないのであれば、情報を活用することができません。
(モンティホール問題も、「モンティが必ずハズレのドアを開ける」というルールをプレイヤーが認識していることが前提になっているはずです。)
共通認識があるという前提で、①と②を見た場合、②の方は「女・女」、「男・女」、「女・男」の存在比率に連動するという理由で1/3と推測できることは何となくわかりました。
ただ、①の理由が全く分からないので、もう少し詳細の解説が欲しいです。
「男・女」と「女・男」の区別がなくなって、「女・女」、「男・女」の2通りになるという解釈なのでしょうか・・・?
それと、
◎現実に基づく経験的事実の報告の場合は(親自身が我が子について言う場合のように)、1/2。
⇒この確率は「1」か「0」だと思います。
出題者側の視点での確率と、回答者側の視点での確率を混同していないでしょうか?
◎規約的事実の提示の場合は(フィクションとして作られた問いのように)、1/3。
⇒これは良く分からなかったので、もう少し解説が欲しいです。
Re: 2人の子供問題 - 遅読猫 URL
2022/11/13 (Sun) 14:50:49
>興味深いのは、特定無しで「少なくとも一人は女子」あるいは「女子がいる」と言った場合です。
>
> 「女子」という発声をあらかじめ決めずに(「男子」という発声の可能性もある状態で)、自由に発言した場合は、
> 「二子の中に女子がいる」という発言に条件づけた〈二子とも女子である確率〉は、1/2。
> 「女子」という発声を決めておいて(「男子」と発声しないと決めておいて)、「女子がいる」と発言できる家族に出会った場合に限りこの問いを出した場合は、
> 「二子の中に女子がいる」という発言に条件づけた〈二子とも女子である確率〉は、1/3。
>
> 換言すれば、
> ◎ 家族に合わせて問いを出した場合は、1/2。
> ◎ 問いに合わせて家族を調達した場合は、1/3。
どの段階で「『二子の中に女子がいる』と発言する」と”決めた”にせよ、その「情報」が解答者に”与えられない”のであれば
「Aさんの子供(2人)のうち少なくとも一人が女であるとき、子供が二人とも女である確率は?」
の答は 1/2 です。
そして、
>「Aさんの子供(2人)のうち少なくとも一人が女であるとき、もう一方の性別は?」
>これを
>「Aさんの子供(2人)のうち少なくとも一人が女であるとき、子供が二人とも女である確率は?」
>の意味に解釈すると確率は1/3です。
「設問者が『Aさんの子供』が「少なくとも一人が女である』という情報を解答者に与える」尤度は
女女:女男:男女:男男 = 1 : 1/2 : 1/2 : 0
よって、
「もう一方の性別が女である確率は?」
「二人とも女である確率は?」
どちらも 1/2 です。
Re: 2人の子供問題 - catman
2022/11/14 (Mon) 05:35:30
遅読猫さんへ
>>「Aさんの子供(2人)のうち少なくとも一人が女であるとき、もう一方の性別は?」
>>これを
>>「Aさんの子供(2人)のうち少なくとも一人が女であるとき、子供が二人とも女である確率は?」
>>の意味に解釈すると確率は1/3です。
>「設問者が『Aさんの子供』が「少なくとも一人が女である』という情報を解答者に与える」尤度は
> 女女:女男:男女:男男 = 1 : 1/2 : 1/2 : 0
そうでしょうか。
例えばAさん自身が自発的に「少なくとも一人は女だよ」とでも言ったのなら尤度は
女女:女男:男女:男男 = 1 : 1/2 : 1/2 : 0
であって、求める確率は1/2でよいと思います。
しかし、そのような限定条件がなく、単に「少なくとも一人は女である」という情報だけが客観的事実として提示されているのであれば尤度は
女女:女男:男女:男男 = 1 : 1 : 1 : 0
とするのが自然であり求める確率は1/3ではないでしょうか。
Re: 2人の子供問題 - 遅読猫 URL
2022/11/14 (Mon) 11:55:53
>そうでしょうか。
>例えばAさん自身が自発的に「少なくとも一人は女だよ」とでも言ったのなら尤度は
> 女女:女男:男女:男男 = 1 : 1/2 : 1/2 : 0
>であって、求める確率は1/2でよいと思います。
>
>しかし、そのような限定条件がなく、単に「少なくとも一人は女である」という情報だけが客観的事実として提示されているのであれば尤度は
>
女女:女男:男女:男男 = 1 : 1 : 1 : 0
>
>とするのが自然であり求める確率は1/3ではないでしょうか。
「客観的事実」を「提示」するのは「設問者」であり、
「設問者」がAさんであれ、Aさん以外の人物であれ、コンピュータープログラムであれ、
「設問者」は設問にあたり、『少なくとも一人が女/男である』のどちらかの選択を”必ず”行わなければなりません。
よって、
「”設問者”が『Aさんの子供』が『少なくとも一人が女である』という情報を解答者に与える」尤度は
女女:女男:男女:男男 = 1 : 1/2 : 1/2 : 0
です。
2022/11/16 (Wed) 02:23:53
① 家族に合わせて問いを出した場合は、1/2
② 問いに合わせて家族を調達した場合は、1/3
初投稿者さんが上記の意味がわかりにくいとのことなので、言葉を変えて述べてみます。
◎二子家族が決まっていて、その家族構成を知っている人が「少なくとも一人は女子。二人とも女子である確率は?」と問うた場合、家族構成を知らない人にとって、正解は1/2
(発問者が物語世界内のキャラクターであるような出題法の場合、このバージョンとなります)
◎質問が「少なくとも一人は女子。二人とも女子である確率は?」と決められていて、その問いに適合する家族が後から調達された場合、その家族構成を知らない人にとって、正解は1/3
(普通の数学問題は、発問が超越視点で、物語外部から語るので、このバージョンです)
特定2子家族について当該質問がなされた場合は、正解1/2
当該質問が独立に立てられて、不特定2子家族について質問がなされた場合は、正解1/3
上記の区別は大まかなもので、もう少し細かく区別した議論として(「内在視点」と「超越視点」、「記述」と「創造」など)以下の論文を書いたことがあります。
https://doi.org/10.15083/00016639
確率に関する論文ではありますが、『物語的理想化の諸相』というタイトルからわかるとおり、「日本語力」の考察にも関係しています。
また、類似の小論考を『現代思想』のムックにも書いたことがあります。
https://onl.tw/9zpsJa3
正解1/2と1/3に分かれる理由については、上記2つ、とくに前者をご参照いただけると幸いです。
Re: 2人の子供問題 - oktv
2022/11/17 (Thu) 21:30:54
みなさん、こんばんは。
φさんへ。
先日は母親の名前の件で回答ありがとうございました。大ボケな質問ですみませんでした。
> ・表に男の子、裏に女の子が書かれた2枚のコインを投げたら「女の子」が見えた
> という場合、2枚とも「女の子」である確率は1/3ではなく1/2ですね。
この件で、
『表に男の子、裏に女の子が書かれた2枚のコインを投げたとき、「女の子」が見えたならば』
という表現であれば、1/3 でよろしいでしょうか?
Re: 2人の子供問題 - φ
2022/11/18 (Fri) 01:17:05
oktvさん
表現の違いがわかりません。同じことですね。正解は1/2です。
コインを見た友人が自発的に「少なくとも1枚は女子です」と告げた場合も、二枚とも女子の確率は1/2です。
正解が1/3となるのは、「女子は出てますか」「出てます」と告げられた場合、あるいは
「少なくとも1枚は女子である。2枚とも女子である確率は?」という問いを立てておいて、前件に合うコインの出があった時にその問いを実際に問う、といった場合 です。
すでに示したように、丁寧にベイズ式を立ててみれば簡単にわかると思います。
繰り返しになりますが、
コイン投げの結果が先で、それを受けて「女子が出ている」とわかった場合、二枚とも女子は1/2
「女子が出ている」という条件が先で、それにコイン投げ結果を合わせる場合、二枚とも女子は1/3
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/18 (Fri) 22:46:37
>コイン投げの結果が先で、それを受けて「女子が出ている」とわかった場合、二枚とも女子は1/2
⇒これも答えは1/2のときと1/3のときがあると思います。
何度も繰り返しになって恐縮ですが、「回答者に情報が与えられることによって確率が変わる」のではなく、「回答者がどのように情報を活用するのかによって確率が変わる」と考えるべきだと思います。
改めて、次のシチュエーションを考えてみます。
★『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを投げたときに、1枚のコインが見えて「女」と分かったとき、2枚とも「女」である確率は?』
このシチュエーションでも、主に次の①②の考え方が可能です。
① 回答者が「見えたコイン」と「見えていないコイン」を識別して考えた場合。
見えた方のコインは「女」と確定しているため、条件を満たす事象は次のA・Bの2通りしかない。
A 見えたコイン:女、見えていないコイン:女
B 見えたコイン:女、見えていないコイン:男
つまり、2枚とも「女」である確率は1/2
② 回答者が、「女・女」、「男・女」の組合せの起こりやすさから確率を推定した場合。
少なくとも1枚が女となる組合せは「女・女」、「男・女」、「女・男」の3通りなので、2枚とも女となる事象よりも、男と女が1枚ずつになる事象の方が(事実として)起こりやすい。
回答者がこのように考えた場合、もう1枚が「女」である可能性は1/3と推定できる。
(見えたコインが「女」なら、もう1枚は「男」と答えた方が当たる可能性が高いし、逆に見えたコインが「男」なら、もう1枚は「女」と答えた方が当たる可能性が高い)
①と②はどちらも正しいと思います。
同じ情報が与えられたとしても、結局確率を決めるのは、「回答者自身がどのように考えたか」だということです。
(正解は1つしかないと思って、白黒付けたくなる気持ちも分からなくはないですが、本当はどの考え方も大抵は合っているのではないでしょうか(論理が破綻していない限り)。)
2022/11/20 (Sun) 00:05:11
初投稿者さんの➁は間違っていますね。
★『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを投げたときに、1枚のコインが見えて「女」と分かったとき、2枚とも「女」である確率は?』
正解は一つだけで、1/2です。
少なくとも1枚が女となる組合せは「女・女」、「男・女」、「女・男」の3通りですが、
「女が見えた」というデータに条件づけると、その3通りそれぞれの条件付確率は同等ではありません。
ていねいにベイズ式を立ててください。
「女・女」、「男・女」、「女・男」はそれぞれ確率1/2、1/4、1/4となることがわかります。
計算例
P(男、女1枚ずつ|女が見えた)=P(女が見えた|男、女1枚ずつ)P(男、女1枚ずつ)/P(女が見えた)=1/2*1/2/1/2=1/2
P(女2枚|女が見えた)=P(女が見えた|女2枚)P(女2枚)/P(女が見えた)=1*1/4/1/2=1/2
★の問題文で、正解が1/3になることは絶対にありません。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/20 (Sun) 09:27:33
一口に「女が見えた」と言っても、見え方には色々あると思います。
キャッチに失敗して落としたコインが見えたのか、手の隙間から見えたのか、あるいは故意に見たのか・・・。
「女が見える」の事象の起こり方がルール化されていなくて、ランダムに起こると考えれば、ベイズ式で確率を更新しない(事前確率のまま)という考え方も可能かと思ったのですが・・・。
Re: 2人の子供問題 - φ
2022/11/20 (Sun) 12:08:47
どのような見え方をしたにせよ、「女子」という条件をあらかじめ定めずに女子が見えたという場合は、二枚とも女子の確率は1/2です。
「女子」という条件が始めに定められている場合、たとえば「一枚でも女子が出ていたら点灯するセンサー」が点灯したというような場合は、1/3です。
「少なくとも1枚は女子である」と、不特定の記述をした場合はこれに該当し1/3ですが、
「少なくとも1枚は男子である」でなく「女子である」と発言するものとあらかじめ決まっていなかった場合(コインを見てから自発的に「女子」という言い方を選んだ場合)は、1/2です。
計算はこうなります。
(前提として、「少なくとも1枚●が見える」と自由に発言する確率をaとし、「●」は男女同確率(a/2)と仮定します)
P(女2枚|女が少なくとも1枚見えると自由発言)=P(女が少なくとも1枚見えると自由発言|女2枚)P(女2枚)/P(女が少なくとも1枚見えると自由発言)=a*1/4/a/2=1/2
対して、「男が見える」とは絶対言わないと決めている場合「●」は男ゼロ、女1なので
P(女2枚|女が少なくとも1枚見えると発言)=P(女が少なくとも1枚見えると発言|女2枚)P(女2枚)/P(女が少なくとも1枚見えると発言)=a*1/4/3a/4=1/3
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/20 (Sun) 12:23:15
この問題に答える人が、「女が見えた」本人であるなら、1/2に限定されるかもしれないですね。
本人の中では、見え方が特定されているためです。
(状況によっては必ずしも1/2でない場合もありますが、少なくとも事前確率は更新されるはずです。)
ただ、問題に答える人が第三者の場合、「女が見えた」という情報だけでは、どのような見え方をしたのか不明のため、ベイズ式で確率を更新しないという考え方が成立するようにも思うのですが・・・・。
Re: 2人の子供問題 - φ
2022/11/20 (Sun) 14:44:34
もとの★の文面
『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを投げたときに、1枚のコインが見えて「女」と分かったとき、2枚とも「女」である確率は?』が与えられた時、
第三者が答える場合も正解は紛れなく1/2であり、その他ではありえません。
2022/11/21 (Mon) 03:22:08
ちなみに、『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを投げて、「女」が出ているような場合、2枚とも「女」である確率は?』
という問いで、それ以上の情報が与えられない場合は、正解1/3とすべきでしょうね。
いかにも不特定のコインについて問うているので。
すなわち、「男、男」でないすべてのペアからランダムに取った一例が「女、女」の確率は? という意味に取れるので。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/21 (Mon) 07:40:20
★の文面
・「女が見えた」本人の場合、どちらのコインが女なのか特定されているので、1/2。
・第三者の場合、どちらのコインが女なのか、どのような見え方をしたのかという情報が一切ないので、1/3。
で良くないでしょうか?
「特定されました」と言われたとしても、「女が見えた」本人の中で勝手に特定されているだけで、出題された第三者の中では特定されていないという解釈です。
2022/11/21 (Mon) 21:35:13
特定されたか不特定かは問題の本質に関係ありません。
繰り返しになりますが、ベイズ式を立てて各確率を代入して計算してください。
コインを投げた本人が「女子が出ている」と報告
それを聞いた第三者(コインを見ていない)による正しい確率推論は以下の通り
P(「(性別)が出ている」と報告がなされる)=a
P(「女子が出ている」と報告)=P(「男子が出ている」と報告)=a/2
P(2枚とも女子|「女子が出ている」と報告)=P(「女子が出ている」と報告|2枚とも女子)*P(2枚とも女子)/P(「女子が出ている」と報告)=(a)(1/4)/(a/2)=1/2
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/21 (Mon) 23:55:16
色々迷走しましたが、分かりました。
★の文面は「どちらのコインが女なのか」は不特定であっても、「分かったコインは1枚だけ」という情報は提示されていると考える必要がありました。
つまり、以下の考え方なら、たぶん合っているはずです(合っていると信じたい・・・)。
① 回答者がコインを見た本人の場合
どちらのコインが「女」であるか特定されているため、条件を満たす事象は次のA・Bの2通りしかない。(見えた方のコインを「コイン1」と識別)
A コイン1 女(見えた)、コイン2 女(見えていない)
B コイン1 女(見えた)、コイン2 男(見えていない)
ここで、
コイン1(女)が見える確率:α
コイン2(女)が見える確率:β
コイン2(男)が見える確率:δ
とすると、
A=1/4α(1-β)
B=1/4α(1-δ)
P(2枚とも女子|女子が見えた)
={1/4α(1-β)}/{1/4α(1-β)+1/4α(1-δ)}
=(1-β)/(2-β-δ)
コイン投げの場合であれば、見える確率に差が出ることは想定しにくいので、α=β=δとみなして、
P(2枚とも女子|女子が見えた)≒1/2
② 回答者が第三者(コインを見た本人ではない)の場合
条件を満たす事象は次の4通り。
A コイン1 女(見えた)、 コイン2 女(見えていない)
B コイン1 女(見えていない)、 コイン2 女(見えた)
C コイン1 女(見えた)、 コイン2 男(見えていない)
D コイン1 男(見えていない)、 コイン2 女(見えた)
ここで、
コイン1(女)が見える確率:α
コイン2(女)が見える確率:β
コイン1(男)が見える確率:γ
コイン2(男)が見える確率:δ
とすると、
A=1/4α(1-β)
B=1/4β(1-α)
C=1/4α(1-δ)
D=1/4β(1-γ)
P(2枚とも女子|女子が見えたと報告)
={1/4α(1-β)+1/4β(1-α)}/{1/4α(1-β)+1/4β(1-α)+1/4α(1-δ)+1/4β(1-γ)}
=(α+β-2αβ)/(2α+2β-2αβ-αδ-βγ)
コイン投げの場合であれば、見える確率に差が出ることは想定しにくいので、α=β=γ=δとみなして、
P(2枚とも女子|女子が見えたと報告)≒1/2
Re: 2人の子供問題 - φ
2022/11/22 (Tue) 20:44:38
初投稿者さんの定式化は、「一枚だけが見えた」場合に限定している点で、不適当ではないでしょうか。
単に「女子が見えた」と報告された場合、一枚だけ見えたのか、二枚とも見えたうえで「女子」という言葉が出たのか、どちらなのか不明です。その不明状態のまま(すべての場合を包括する形で)計算しなくてはなりません。よって、やはり律儀にベイズ式を書いて確率を求めるべきでしょう。
汎用的なベイズ式に従えば、条件変更にも即応できます。たとえば、「女子出てますか」の問いが先行したうえで「出てます」報告ありの場合に二枚とも女子の確率1/3、という正解もスムーズに(代入する値を入れ替えるだけで)導けます。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/23 (Wed) 00:06:02
すみません。
★の文面は1/2にしかならないとのご指摘を受けて、私も納得した上で1/2と訂正したつもりでしたが、ここに来て1/3と言われる意味が良く分かりません。
二枚とも見えたうえで「女子」という言葉がでた可能性があるのであれば1/3です。それは分かっています。私もそう思って最初は1/3と主張しておりました。
でも、ご指摘を受けて、★の文面は「分かったコインは1枚だけ」と確定した表現になっていると納得した上で、1/2と訂正させていただいた次第です。
2022/11/23 (Wed) 04:57:42
「二枚とも見えたうえで「女子」という言葉がでた可能性があるのであれば1/3」
ではないのです。
1枚見ようが2枚見ようが、コインを特定しようがしまいが、
自発的に「女子」という言葉が出たのであれば1/2、
「女子は出たか」「イエス」ということなら1/3
ということです。
換言すれば、
「女子」という条件が発見の産物なら1/2、選択の産物なら1/3
計算式をよく見ればわかるのではないでしょうか。
何遍も同じことを書いていますがもう一度。
1枚見たか2枚見たかに関係なく、
● 「女子が見える」と報告 それを聞いた第三者の正しい推論
P(2枚とも女子|「女子が見える」と報告)=P(「女子が見える」と報告|2枚とも女子)*P(2枚とも女子)/P(「女子が見える」と報告)=(a)(1/4)/(a/2)=1/2
● 「女子は見える?」と質問、「見える」と応答 それを聞いた第三者の正しい推論
P(2枚とも女子|「女子が見える」と応答)=P(「女子が見える」と応答|2枚とも女子)*P(2枚とも女子)/P(「女子が見える」と応答)=(b)(1/4)/(3b/4)=1/3
ただし、
a=性別を自発的に報告する確率
b=女子についての質問・応答がなされる確率
そろそろご納得いただけると幸いです。単にベイズ式に当てはめているだけの、基礎演習なので・・・
ベイズ式に代入される分母の数値が異なっていることに御注意ください。この相違は、1枚見たか2枚見たかに左右されません。
(参考・再度掲示)
https://doi.org/10.15083/00016639
http://www.seidosha.co.jp/book/index.php?id=3013
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/23 (Wed) 12:53:47
★『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを投げたときに、1枚のコインが見えて「女」と分かったとき、2枚とも「女」である確率は?』
この問題文の場合、「1枚のコインが見えて「女」と分かった」と書かれています。
選択の産物だとしても、
「女子は出たか?」「イエス」「見たコインは1枚だけか?」「イエス」のように、1枚であるという情報を掴んだことになるので、
P=(α+β-2αβ)/(2α+2β-2αβ-αδ-βγ)
≒1/2ではないでしょうか。
一方、▲『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを投げたときに、コインが見えて「女」と分かったとき、2枚とも「女」である確率は?』の場合。
1枚であるという情報が無いので、可能性としては、第三者の立場では次の7通りが考えられます。(選択の産物:「女子は見えたか?」「イエス」の観点です)
A コイン1 女(見えた)、 コイン2 女(見えていない)
B コイン1 女(見えていない)、コイン2 女(見えた)
C コイン1 女(見えた)、 コイン2 男(見えていない)
D コイン1 男(見えていない)、コイン2 女(見えた)
E コイン1 女(見えた)、 コイン2 女(見えた)
F コイン1 女(見えた)、 コイン2 男(見えた)
G コイン1 男(見えた)、 コイン2 女(見えた)
コインが見える確率=αなら、
A=1/4α(1-α)
B=1/4α(1-α)
C=1/4α(1-α)
D=1/4α(1-α)
E=1/4α^2
F=1/4α^2
G=1/4α^2
P=(A+B+E)/(A+B+C+D+E+F+G)
=(2-α)/(4-α)
1/2でも1/3でもなく、コインが見える確率に影響されるようですね。
一方、発見の産物(自発的に女が見えたと報告)の観点なら、条件を満たす組合せは以下の9通りでしょうか??
A コイン1 女(見えた&報告)、 コイン2 女(見えていない)
B コイン1 女(見えていない)、 コイン2 女(見えた&報告)
C コイン1 女(見えた&報告)、コイン2 男(見えていない)
D コイン1 男(見えていない)、 コイン2 女(見えた&報告)
E コイン1 女(見えた&報告)、コイン2 女(見えた)
E' コイン1 女(見えた)、 コイン2 女(見えた&報告)
E”コイン1 女(見えた&報告)、コイン2 女(見えた&報告)
F コイン1 女(見えた&報告)、コイン2 男(見えた)
G コイン1 男(見えた)、 コイン2 女(見えた&報告)
ただ、E、E'、E”において、コイン1の結果を報告したのか、コイン2を報告したかの区別はないはずなので、E、E'、E”は重複カウントと考えた方が良いでしょう。
よって、以下の7通りと考えた方が良さそうです。
A コイン1 女(見えた)、 コイン2 女(見えていない)、(女を報告)
B コイン1 女(見えていない)、コイン2 女(見えた) 、(女を報告)
C コイン1 女(見えた)、 コイン2 男(見えていない)、(女を報告)
D コイン1 男(見えていない)、コイン2 女(見えた) 、(女を報告)
E コイン1 女(見えた)、 コイン2 女(見えた) 、(女を報告)
F コイン1 女(見えた)、 コイン2 男(見えた) 、(女を報告)
G コイン1 男(見えた)、 コイン2 女(見えた) 、(女を報告)
コインが見える確率=α、自発的に女が見えたと報告する確率=βとすると、
A=1/4α(1-α)β
B=1/4α(1-α)β
C=1/4α(1-α)β
D=1/4α(1-α)β
E=1/4α^2・β
F=1/4α^2・β
G=1/4α^2・β
P=(A+B+E)/(A+B+C+D+E+F+G)
=(2-α)/(4-α)
この場合、「選択の産物」でも「発見の産物」でも同じ結果になりそうです。
Re: 2人の子供問題 - φ
2022/11/23 (Wed) 15:32:48
申し訳ありません、混乱した書き方をしていました!
大筋で、今回の初投稿者さんの考え方は正しいと思います。
私が前回に否定したのは、
「二枚とも見えたうえで「女子」という言葉がでた可能性があるのであれば1/3」
という部分だけでした。
正しくは、
●2枚とも見たうえで、
報告者が自発的に「女子見える」と言ったのであれば、二枚とも女子は1/2
既定の「女子見えるか」の問いに報告者が「見える」と言ったのであれば、二枚とも女子は1/3
●1枚しか見ないとわかっている状況では、
報告者が自発的に「女子見える」と言ったのであれば、二枚とも女子は1/2
既定の「女子見えるか」の問いに報告者が「見える」と答えたのであれば、二枚とも女子はやはり1/2
(ベイズ式の分母がb/2なので)
問題は見る対象が1枚限定か二枚ともかがわからない場合で、それが今回の初投稿者さんの計算ということでしょう。
既定の「女子見えるか」の問いに報告者が「見える」と答えた、
という記述で私が前回念頭に置いていた状況は、
報告者はまず1枚見て、それが女子だったら「女子見える」と答える
男子だった場合に限りもう1枚も見て、それが女子だったら「女子見える」と答える
というものでした。(それが文面の自然な理解だと思いますが・・・)
その状況を「1枚見たか2枚見たかに関係なく、」と書いたのですが、正確な表現ではありませんでした。お詫びいたします。
1枚しか見ない、という設定がもともとの★ですね。
「女子」という言葉が自発的(発見)だろうが「女子見えるか」「見える」(選択)だろうが、二枚とも女子の確率は1/2ですね。それがもともとの★でした。
対して、「女子見えるか」「見える」の場合だけ、女子が見えるまで見る、という設定なら、
たとえ結果的に1枚だけ見てそう答えたのであっても、「もし男子だったらもう1枚を見たはず」という背景に支えられているため、「1枚だけ見たのか2枚とも見たのかに関係なく」二枚とも女子の確率は1/3、というのが前回私が述べた意味でした。
「1枚しか見ない」と限定されている場合は(そして回答者がそれを知っている場合は)、それで「女子見える」なら、2枚とも女子は1/2です。
では、「1枚限定で見る」「女子が見えるまで見る」そのどちらかわからない場合は?
言葉の自然な理解は後者なので1/3としたのが前回の私ですが、
「1枚限定で見て質問に答えると決めてある」可能性も考えるとすれば、初投稿者さんの計算(と事実上同じ計算)が発動されることになりますね。
初投稿者さんの計算は、パッと見た時に視界に1枚入るか2枚入るかが偶然任せ、という設定のようですが、そのような自然任せだと、「女子が見えるまで見る」という言語理解に流されてしまうような気もします。
その点では、
未知の特定の確率で「1枚限定で見る」「女子が見えるまで見る(実質、「2枚とも見る」と同じ)」を決める、という設定で式を立てた方が厳密かもしれませんが・・・
どうせ等値になるから初投稿者さんの計算でよいのか?
両極端の値を代入したときそれぞれ1/2と1/3が得られる式が望ましいと思われますが、
さてどうでしょうね・・・
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/23 (Wed) 20:08:38
【2枚とも同時に見る場合】
① 選択の産物の観点
条件を満たす事象は次の3通り
E コイン1 女(見えた)、コイン2 女(見えた)
F コイン1 女(見えた)、コイン2 男(見えた)
G コイン1 男(見えた)、コイン2 女(見えた)
コインが見える確率=αなら(必ず見るならα=1)、
E=1/4α^2
F=1/4α^2
G=1/4α^2
P=E/(E+F+G)=1/3
② 発見の産物の観点
条件を満たす事象は次の3通り
E コイン1 女(見えた)、コイン2 女(見えた)、(女を報告)
F コイン1 女(見えた)、コイン2 男(見えた)、(女を報告)
G コイン1 男(見えた)、コイン2 女(見えた)、(女を報告)
コインが見える確率=α(必ず見るならα=1)、自発的に女が見えたと報告する確率=βとすると、
E=1/4α^2・β
F=1/4α^2・β
G=1/4α^2・β
P=E/(E+F+G)=1/3
なので、2枚とも同時に見る場合、「選択の産物」でも「発見の産物」でも1/3ですよね。
【パッと見た時に視界に1枚入るか2枚入るかが偶然任せの場合】
私が前回書いたイメージは、「コインを落として見えてしまった」のような、不慮の事故によって見えたような想定でした。
自発的にコインを見るような想定の場合、条件を満たす事象は下記の7通りなのですが、2枚のコインを見たにも関わらず1枚しか見えないという事象は稀なので、
A=B=C=D≒0と近似しても差し支えないのではないでしょうか。
A コイン1 女(見えた)、 コイン2 女(見えていない)
B コイン1 女(見えていない)、コイン2 女(見えた)
C コイン1 女(見えた)、 コイン2 男(見えていない)
D コイン1 男(見えていない)、コイン2 女(見えた)
E コイン1 女(見えた)、 コイン2 女(見えた)
F コイン1 女(見えた)、 コイン2 男(見えた)
G コイン1 男(見えた)、 コイン2 女(見えた)
そのように考えれば、【2枚とも同時に見る場合】と全く同じなので、P≒1/3になるかと思います。
(「選択の産物」でも「発見の産物」でも同じでしょう。)
【1枚見てそれが女だったらそれ以上見ない、男だったらもう一枚見るの場合】
① 選択の産物の観点
条件を満たす事象は次の3通り
A 1枚目 女(見る)、2枚目 女(見みない)
B 1枚目 女(見る)、2枚目 男(見みない)
C 1枚目 男(見る)、2枚目 女(見る)
ここで、
1枚目のコインを見る確率=1
1枚目のコインを見て女だった時に、2枚目を見ない確率=1
1枚目のコインを見て男だった時に、2枚目を見る確率=1
より、
A=1/4、B=1/4、C=1/4
よって、P=A/(A+B+C)=1/3
② 発見の産物の観点
条件を満たす事象は次の3通り
A 1枚目 女(見る&報告)、2枚目 女(見みない)
B 1枚目 女(見る&報告)、2枚目 男(見みない)
C 1枚目 男(見る)、2枚目 女(見る&報告)
ここで、
1枚目のコインを見る確率=1
1枚目のコインを見て女だった時に、2枚目を見ない確率=1
1枚目のコインを見て男だった時に、2枚目を見る確率=1
自発的に女が見えたと報告する確率=β
とすると、
A=1/4β、B=1/4β、C=1/4β
よって、P=A/(A+B+C)=1/3
これでも、「選択の産物」、「発見の産物」に関係なく1/3ですよね。
【コインを順番に確認し、任意の判断で自発的に性別を報告する場合(ただし報告は1回のみとする)】
これは「発見の産物の観点」のみです。
条件を満たす事象は次の4通り
A 1枚目 女(報告)、2枚目 女(報告しない)
B 1枚目 女(報告しない)、2枚目 女(報告)
C 1枚目 男(報告しない)、2枚目 女(報告)
D 1枚目 女(報告)、2枚目 男(報告しない)
ここで、性別を報告する確率=αとすると
A=1/4α×1
B=1/4α(1-α)
C=1/4α(1-α)
D=1/4α×1
よって、P=(A+B)/(A+B+C+D)=1/2
この場合は1/2と言えそうです。
【コインを順番に確認し、任意の判断で自発的に性別を報告する場合(報告は1回とは限らないが、結果的に1回だけ報告されたとき)】
これは「発見の産物の観点」のみです。
条件を満たす事象は次の4通り
A 1枚目 女(報告)、2枚目 女(報告しない)
B 1枚目 女(報告しない)、2枚目 女(報告)
C 1枚目 男(報告しない)、2枚目 女(報告)
D 1枚目 女(報告)、2枚目 男(報告しない)
ここで、性別を報告する確率=αとすると
A=1/4α(1-α)
B=1/4α(1-α)
C=1/4α(1-α)
D=1/4α(1-α)
よって、P=(A+B)/(A+B+C+D)=1/2
この場合でも1/2と言えそうです。
【】で記載したパターンのどれであるか分からない場合は???
おそらく分からないと解は出ないのでしょうね・・・。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/23 (Wed) 21:49:47
【1枚見てそれが女だったらそれ以上見ない、男だったらもう一枚見るの場合】の②は間違いですので、訂正します。
【1枚見てそれが女だったらそれ以上見ない、男だったらもう一枚見るの場合】
② 発見の産物の観点(報告は1回のみとする)
条件を満たす事象は次の3通り
A 1枚目 女(見る&報告)、2枚目 女(見みない)
B 1枚目 女(見る&報告)、2枚目 男(見みない)
C 1枚目 男(見る&報告しない)、2枚目 女(見る&報告)
ここで、
1枚目のコインを見る確率=1
1枚目のコインを見て女だった時に、2枚目を見ない確率=1
1枚目のコインを見て男だった時に、2枚目を見る確率=1
自発的に性別を報告する確率=β
とすると、
A=1/4β、B=1/4β、C=1/4β(1-β)
よって、P=A/(A+B+C)=1/(3-β)
この場合、自発的に性別を報告する確率に影響されて確率が変わることになりますね。
Re: 2人の子供問題 - oktv
2022/11/24 (Thu) 21:14:17
こんばんは。
φさんへ。
> 正解が1/3となるのは、「女子は出てますか」「出てます」と告げられた場合、あるいは
> 「少なくとも1枚は女子である。2枚とも女子である確率は?」という問いを立てておいて、前件に合うコインの出があった時にその問いを実際に問う、といった場合 です。
> すでに示したように、丁寧にベイズ式を立ててみれば簡単にわかると思います。
そこは理解しているつもりです。
ただ、
> 繰り返しになりますが、
> コイン投げの結果が先で、それを受けて「女子が出ている」とわかった場合、二枚とも女子は1/2
結果を受けて、「女子が出ている」という設定の出題をした場合。
などではないでしょうか?
> 「女子が出ている」という条件が先で、それにコイン投げ結果を合わせる場合、二枚とも女子は1/3
『表に男の子、裏に女の子が書かれた2枚のコインを投げたとき、「女の子」が見えたならば』
は、コイン投げより前に(特定のコイン投げの結果に影響されず)「女の子」を設定していることを私は表現したつもりです。
投げた結果を受けて「女の子設定」にしたのではなく。
φさんの論文(「物語的理想化の諸相」)で二子の件ですが
「ちょうど二子を持つ任意の親が男子を持つとき、男子二子を持つ確率は?」という表現が 1/3 の例とされています。
私の書いた文章はそれと同じパターンのつもりでした。
『表に男の子、裏に女の子が書かれた2枚のコインを投げた任意の人物が、「女の子」を見たとき、二枚とも「女の子」である確率は?』
ならば合意いただけるでしょうか?
念のためですが、この件の『「女の子」が見えた』は、そもそものやりとりからして
一枚だけ見えた場合ではなく、二枚とも見えていて少なくとも一枚は女子という意味だと私は解釈して参入しています。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/25 (Fri) 08:17:49
【2枚とも同時に見る場合】の②も違いますね。
これも訂正しないといけません。
条件を満たす事象は次の3通り
E コイン1 女(見えた)、コイン2 女(見えた)、(女を報告)
F コイン1 女(見えた)、コイン2 男(見えた)、(女を報告)
G コイン1 男(見えた)、コイン2 女(見えた)、(女を報告)
ここまでは良いのですが、F、Gについては、男が報告される可能性がある上で女が報告されるのに対し、Eは女しか報告される余地がありません。
なので、両方女の時に自発的に女が見えたと報告する確率がβなら、片方だけ女の時に自発的に女が見えたと報告する確率は1/2βと考える必要がありそうです。
コインが見える確率=α(必ず見るならα=1)なら、
E=1/4α^2・β
F=1/4α^2・1/2β
G=1/4α^2・1/2β
P=E/(E+F+G)=1/2
そうすると、1枚見えるか2枚見えるか分からないパターン(発見の産物)の場合でも、
A コイン1 女(見えた)、 コイン2 女(見えていない)、(女を報告)
B コイン1 女(見えていない)、コイン2 女(見えた) 、(女を報告)
C コイン1 女(見えた)、 コイン2 男(見えていない)、(女を報告)
D コイン1 男(見えていない)、コイン2 女(見えた) 、(女を報告)
E コイン1 女(見えた)、 コイン2 女(見えた) 、(女を報告)
F コイン1 女(見えた)、 コイン2 男(見えた) 、(女を報告)
G コイン1 男(見えた)、 コイン2 女(見えた) 、(女を報告)
A=1/4α(1-α)β
B=1/4α(1-α)β
C=1/4α(1-α)β
D=1/4α(1-α)β
E=1/4α^2・β
F=1/4α^2・1/2β
G=1/4α^2・1/2β
P=(A+B+E)/(A+B+C+D+E+F+G)
=1/2
こうするのが正しいでしょうね。
選択の産物ならP=(2-α)/(4-α)
発見の産物ならP=1/2
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/26 (Sat) 11:35:34
oktv様
>『表に男の子、裏に女の子が書かれた2枚のコインを投げた任意の人物が、「女の子」を見たとき、二枚とも「女の子」である確率は?』
おそらくこれも「情報不足のため解が出ない」が答えでしょうね。
確率を計算するためには、次の4点について追加情報が必要になる気がします。
① 誰の立場における確率を求めるのか?
コインを投げた本人の視点での確率か?それとも「女子を見た」と報告された第三者の視点での確率か?
⇒ これは引っかけ問題でない限り「第三者」ですかね。
② コインを投げた人物が見たコインの枚数は?
(不明のまま計算する場合、1枚又は2枚のどちらかしか起こりえないのか、あるいは1枚、2枚のどちらもあり得るのか見極めるために、さらなる追加情報が必要になる。)
③ コインは1枚ずつ順番に見るのか、それとも同時に見るのか?
また、順番に見る場合、「女子を見た」と報告する機会はコインを見た都度に存在するのか、それとも両方見終わった後に報告することがルールとして定まっているのか?
④ 「女子を見た」という報告について、必ず女子の方が報告されることが確約されているのか、それとも男子が報告される可能性も存在する中で「女子を見た」と報告されたのか?
『①第三者、②2枚、③同時に見る、④必ず女子の方が報告される』なら1/3ですかね。
Re: 2人の子供問題 - oktv
2022/11/27 (Sun) 07:22:47
みなさん、おはようございます。
先日(11/24) の私の投稿の以下の文面を削除訂正いたします。
> この表現は違うのではないですか。
> コイン投げの結果が先で、それを受けて「女子が出ている(少なくとも一つは女子が出ている)」と「発言した」場合。あるいは、
今時間がないので、訂正後の文面や、1/2,1/3 の違いについての私の考えは後で(おそらく今晩)投稿させてください。
初投稿者様へ。
返信ありがとうございます。後で自分の考えをお返事しますので、よろしくお願いいたします。
Re: 2人の子供問題 - oktv
2022/11/27 (Sun) 20:49:42
初投稿者さまへ。
まず②の「見えた枚数」についてですが、文言だけでは特定しにくい表現だというのは同意します。
ただ、
もともと『「女の子」が見えた』設定は catmanさんが以下の文脈で提示されたものでした。
> 子供が二人とも女の子である確率は以下の通りです。
>
> A:特定なし→確率1/3
> ・スミス氏に女の子がいますかと聞くといるという。
> ・スミス氏の家を訪れたらひな人形が飾ってあった。
> ・表に男の子、裏に女の子と言う文字が書かれた2枚のコインを投げたら「女の子」が見えた
この後さらに、それと対比して 1/2 になる例として
> ちなみに2人とも女の子である確率が1/2になる例については
>例えば、各々、表に男、裏に女と書いてある2枚のコインを投げた。
>1枚のコインを見ると女と書かれている。よく見るとフロリダという名前も書いてある。
>もう1枚のコインは扉の陰に行き表か裏かわからない。
と書いておられます。以上により、二枚とも見えていて少なくとも一枚は「女の子」という設定を表現しておられ、 φさんも、それを前提に反論されていたと思います。
その反論の結果、
『・表に男の子、裏に女の子と言う文字が書かれた2枚のコインを投げたら「女の子」が見えた』
は、1/2 であるとcatmanさんは訂正されたのでした。
私はその『「女の子」が見えた』の部分(=「二枚とも見えていて少なくとも一枚は女の子」)はそのままで、答えが 1/3 になると思われる表現を提示したという展開です。
Re: 2人の子供問題 - oktv
2022/11/28 (Mon) 00:21:36
先日のφさんの返答があまりに意外だったので、私が何か誤解しているのかと、この板を最初から読み返してみましたが、φさんの説明の例えば以下
> 換言すれば、
> ◎ 家族に合わせて問いを出した場合は、1/2。
> ◎ 問いに合わせて家族を調達した場合は、1/3。
>
> さらに換言すれば、
> 選択の母集団がただ一つの家族だった場合、
> ◎現実に基づく経験的事実の報告の場合は(親自身が我が子について言う場合のように)、1/2。
> ◎規約的事実の提示の場合は(フィクションとして作られた問いのように)、1/3。
> ◎質問が「少なくとも一人は女子。二人とも女子である確率は?」と決められていて、その問いに適合する家族が後から調達された場合、その家族構成を知らない人にとって、正解は1/3
> (普通の数学問題は、発問が超越視点で、物語外部から語るので、このバージョンです)
> 特定2子家族について当該質問がなされた場合は、正解1/2
> 当該質問が独立に立てられて、不特定2子家族について質問がなされた場合は、正解1/3
私の理解と食い違うところはありません。
食い違いの理由は、各設問の表現を読解する際の感性の違いにあると理解しました。
例えば以下のような
> もとの★の文面
> 『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを投げたときに、1枚のコインが見えて「女」と分かったとき、2枚とも「女」である確率は?』が与えられた時、
> 第三者が答える場合も正解は紛れなく1/2であり、その他ではありえません。
> ちなみに、『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを投げて、「女」が出ているような場合、2枚とも「女」である確率は?』
> という問いで、それ以上の情報が与えられない場合は、正解1/3とすべきでしょうね。
> いかにも不特定のコインについて問うているので。
> すなわち、「男、男」でないすべてのペアからランダムに取った一例が「女、女」の確率は? という意味に取れるので。
Re: 2人の子供問題 - φ
2022/11/28 (Mon) 01:44:45
『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを投げて、少なくとも1枚「女」が出ているような場合、2枚とも「女」である確率は?』
といった、「無味乾燥な」数学の問題では、正解は1/3ですね。条件(前件)が先に与えられていて、それの条件を満たすコインペアをランダムに選んだ場合、選ばれたコインペアが二枚とも「女」である確率ですから。
ところが、数学の問題を変に「親しみやすく」しようとして、
『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを太郎が投げました。2枚を確認した太郎が「少なくとも1枚、女が出ているよ」と言いました。コインを見ていないあなたにとって、2枚とも「女」である確率は?』
のようにしてしまうと、正解が1/3でなく、1/2となってしまうわけです。
問題の書き方(超越視点か、内在視点か)には要注意ということです。
Re: 2人の子供問題 - 遅読猫 URL
2022/11/28 (Mon) 11:43:07
> 『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを投げて、少なくとも1枚「女」が出ているような場合、2枚とも「女」である確率は?』
> といった、「無味乾燥な」数学の問題では、正解は1/3ですね。
> 『表に男、裏に女と書かれた2枚のコインを太郎が投げました。2枚を確認した太郎が「少なくとも1枚、女が出ているよ」と言いました。コインを見ていないあなたにとって、2枚とも「女」である確率は?』
> のようにしてしまうと、正解が1/3でなく、1/2となってしまうわけです。
では
「太郎が2枚のコインを投げて、『少なくとも1枚裏が出た』とあなたに報告した場合、コインを見ていないあなたにとって、2枚とも「裏」である確率は?」
(「表に男、裏に女と書かれた」云々は冗長なだけなので省きます)
Re: 2人の子供問題 - oktv
2022/11/28 (Mon) 20:22:17
φさん。
私の場合、少々臨場的な書き方がされていても、超越的視点で事後調達での確率推定を求めていると読んでしまう傾向があるかもしれません。まさに、親しみやすいような書き方をしているだけだろうと解釈してしまうのかも。
実際、catmanさんの最初の文面でも、そのように読んでもいいのでは、と思っていたくらいでした(1/2だという反論とcatmanさんがそれを受け入れた理由もわかってはいつつ)
出題者の側としては、区別をじゅうぶん意識して書かないと、正解として想定したものと異なる答えを(も)正答と認めなければならないということが起きるおそれがありそうですね。
ありがとうございました。
Re: 2人の子供問題 - oktv
2022/11/28 (Mon) 20:57:42
初投稿者さん。
> >『表に男の子、裏に女の子が書かれた2枚のコインを投げた任意の人物が、「女の子」を見たとき、二枚とも「女の子」である確率は?』
> ④ 「女子を見た」という報告について、必ず女子の方が報告されることが確約されているのか、それとも男子が報告される可能性も存在する中で「女子を見た」と報告されたのか?
「任意の」という表現はφさんの論文から拝借したのですが、任意のケースの結果について出題者が把握しているとは考えづらいので、超越視点と読ませる強い符牒となるのかな、と考えました。もしそうであれば、女子設定は確率推定の対象たるコイン投げの結果とは無関係になされたもので、適合するコイン投げを後から調達して確率推定するパターンと読めるかと。
これは、『必ず女子の方が報告されることが確約されている』にあたりますか?
私の、「任意」についての考えや④についての理解が間違っていましたらすみません。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/11/29 (Tue) 06:36:24
> >『表に男の子、裏に女の子が書かれた2枚のコインを投げた任意の人物が、「女の子」を見たとき、二枚とも「女の子」である確率は?』
難しいですね。
この問題文だと、私の場合、1枚のコインを見て「女の子」と分かった本人の視点での確率と解釈しそうです。
なので1/2。
次の問題文なら1/3になりますかね。
『表に男の子、裏に女の子が書かれた2枚のコインを投げた後、2枚のコインを同時に確認したら少なくとも1枚以上が「女の子」であった場合、2枚とも「女の子」である確率は?』
Re: 2人の子供問題 - oktv
2022/11/29 (Tue) 12:26:01
おはようございます。
初投稿者さん。
見たのは投げた人物ですが、「女の子」を選択して問題化したのは叙述者(出題者)で、叙述者が当該コイン投げの結果を知らないならば、「女の子」を選択するにあたりコイン投げの結果は影響していないわけですから、1/3 ではないでしょうか。
実はそういった点について気になって考えていまして、まさに今日それを書こうと思って来たところでした。後でまとめてみますので、よろしくお願いいたします。
(遅読猫さんの最新の投稿の意図も、それに関連するのではないかなと推測しています)
Re: 2人の子供問題 - φ
2022/12/01 (Thu) 19:12:22
『数学する遺伝子』など邦訳も多い数学者キース・デブリンが「私には二人の子がいて、少なくとも一人は男の子である。二人とも男の子である確率は?」とウェブで出題していて、「多くの人が1/2と錯覚するが、正解は1/3」と書いていたので、
(たしかここ。 https://www.maa.org/external_archive/devlin/devangle.html どの記事だったかタイトルを見失ったが・・・)
メールで間違いを指摘するも、納得してもらえなかった経験があります。
超越視点と内在視点の違いが正解に及ぼす影響については、数学よりも文系的語用論的センスが問われるのかもしれません。
思えば、「二人の子ども問題」とその派生形については、私も今まで断続的にずいぶん語っていました。
最近思い出したのは
第90回五月祭 公開講座「文系の反論理・理系の非論理」2017年5月21日(日)10:30-12:00
工学部8号館1階教授会室
http://gold-fish-press.com/archives/48322
そのときの提示スライド
https://drive.google.com/file/d/1StlFe7ChC4muYZHyqzUVcFbiXETtPY2F/view?usp=share_link
(デブリンとのメールのやりとりを一部引用しています)
Re: 2人の子供問題 - oktv
2022/12/01 (Thu) 19:32:21
こんばんは。間が空きすみませんでした。
「二枚とも〇〇の確率」が 1/2 か 1/3 かについて、以下の私の理解が合っているかどうか検分いただけるとありがたいです。
コインに書かれた文字ではなく、直接の「表」「裏」で表現しました。
[裏表を区別できる二枚のコインが投げられ、一枚以上表が出た(と分かる)]場合に関し
(A) 二枚とも表の確率が1/2になるのは、確率を計算すべき対象であるコイン投げの結果を知る者がそれを受けて「表」(or「裏」)を選択し焦点を当てたことが分かる場合。
1 実際の結果を知る人物による報告行為が書かれている場合
『結果を確認した太郎が「少なくとも一枚表が出たよ(表を見たよ。)」と言った』など
2 出題者が当該コイン投げの結果を受けて「表」か「裏」を自発的に選択し焦点を当てて出題したと読める場合。
3 「何が出たか一つだけ教えてください」「表」。当該コイン投げの結果をふまえて「表」を選択している。
結果を受け「表が出た」と報告される確率の比は
表・表 1
表・裏 0.5
裏・表 0.5
裏・裏 0
φさんの式を拝借すると
P(二枚とも「表」|「表」出たと報告)=P(「表」出たと報告|二枚とも「表」)P(二枚とも「表」)/P(「表」出たと報告)=1*1/4/1/2=1/2
・各パターンの下で「表」が選択される確率を用いて、「表」が選択されたとき各パターンが成立している確率が導ける。
(B) 二枚とも表の確率が1/3になるのは、確率を推定する対象のコイン投げの結果と無関係に「表」(or「裏」)を選択し焦点を当てていると読める出題の場合。
・「二枚のコインを投げた場合を考える。二枚の結果を確かめ少なくとも一枚は「表」が出ていたとしたら、二枚とも表の確率は?」
ならOKでしょうか?
・コイン投げの結果を知る者に対し知らない者が「一枚以上表が出ていますか?」と質問し「はい」の場合も同じ。
質問における「表」の選択は、コイン投げの結果と無関係になされているので。
このパターンは、適合する事例を(後から)調達しての確率推定が求められていると読める。
少なくとも一枚表が出る確率
表・表 1
表・裏 1
裏・表 1
裏・裏 0
P(二枚とも「表」|一枚以上「表」が出る)=P(一枚以上「表」が出る|二枚とも「表」)P(二枚とも「表」)/P(一枚以上「表」が出る)=1*1/4/3/4=1/3
繰り返しになりますが、
・確率を計算すべき対象であるコイン投げの結果を受けて、「表」「裏」の一方を選択し焦点を当てていると読める出題 ー 1/2
・同コイン投げ結果と無関係に(超越視点で)一方を選択し扱っていると読める出題 ー 1/3
このような区別を考えています。
間違っていると思われる点があればご指摘ください。よろしくお願いいたします。
φさんへ。
板の削除ありがとうございました。お手数をおかけしました。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/12/01 (Thu) 22:15:31
誰が読んでも答えが「1/3」となる問題文を作るなら、「確認したコインは2枚である」という条件と、「2枚を同時に確認した」という条件は必要になると思います。
それが問題文に記述されている前提であれば、oktv様の理解で概ね合っていると思います。
要は、「表-裏」というコインの出方をした時に、表が報告される可能性と裏が報告される可能性が半々なのか、それとも必ず表の方が報告されるのかで1/2と1/3が分かれます。
あるいは、事象の起こる頻度を問う問題だと明確な場合も1/3ですね。
例えば、
『2枚のコインを投げて、少なくとも1枚以上が表となる事象が起こった時、2枚とも表となる確率は?』などです。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/12/24 (Sat) 21:56:31
oktvさんの(A)の1は、「確認したコインは2枚である」という条件と「2枚を同時に確認した」という条件があったとしても、1/2ではないような気がしてきました。
>1 実際の結果を知る人物による報告行為が書かれている場合
>『結果を確認した太郎が「少なくとも一枚表が出たよ(表を見たよ。)」と言った』など
この場合、『1枚のコインしか報告することができない』というルールが存在するとは読みにくいからです。
報告行為が1枚に限定されていない場合、表と裏が1枚ずつ出た時の報告のされ方は、「表を見た」「裏を見た」の2通りではなく、「表と裏を見た」のように2枚とも報告されることがあるため、全部で3通りです。
同様に表が2枚出た時の報告も、「表を2枚見た」のように、2枚とも表であると分かるような報告のされ方があり得るため、報告は2通りです。
表と裏が1枚ずつ出た時の報告内容は3通りあり、全てが同じ確率だとすると、「表を見た」と報告される確率は1/3。
表が2枚出た時の報告内容は2通りあり、同じ確率だとすれば、「表を見た」と報告される確率は1/2。
よって求める確率は、以下の計算になります。
A コイン1 表(見えた)、コイン2 表(見えた)、(1枚の表を報告)
B コイン1 表(見えた)、コイン2 裏(見えた)、(表のみを報告)
C コイン1 裏(見えた)、コイン2 表(見えた)、(表のみを報告)
コインが見える確率=α(必ず見るならα=1)、自発的に結果を報告する確率=βなら、
A=1/4α^2・1/2β
B=1/4α^2・1/3β
C=1/4α^2・1/3β
P=A/(A+B+C)=3/7
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/12/25 (Sun) 05:42:29
でも、表と裏が1枚ずつ出た時の報告は、1枚を報告するか2枚を報告するかの選択が先にあって、1枚の場合は表か裏を選択するというように、2段階で行われるという考え方もありますね。
1枚報告か2枚報告かの選択で1/2、表裏の選択で1/2と考えると、「表を見た」と報告される確率は1/4。
コインが見える確率=α(必ず見るならα=1)、自発的に結果を報告する確率=βなら、
A=1/4α^2・1/2β
B=1/4α^2・1/4β
C=1/4α^2・1/4β
P=A/(A+B+C)=1/2
こう考えれば1/2。むしろこっちの方が自然でしょうかね・・・。
(表と裏が1枚ずつ出た時に1枚だけを報告する確率と、表2枚が出た時に1枚だけを報告する確率が同じであることが前提になりますが・・・。)
Re: 2人の子供問題 - φ
2022/12/28 (Wed) 18:10:47
2枚とも報告したくなるか、少なくとも1枚はという報告をしたくなるかという確率が、表裏の出方によって変わりうるというのは現実の心理としてはその通りでしょうが、それを考慮し始めると、「少なくとも1枚は」ではなく「先に見えた方は」「後に見えた方は」という報告をしたくなる確率、何も報告したくなくなる確率、曖昧な報告をしたくなる確率なども考慮する必要が出てきそうです。
よって、通常は、表裏の出方にかかわらず、現実の報告様式「少なくとも一枚は◎」が採用された、と考えるべき問題でしょう。
つまり、表と報告されたか裏と報告されたかだけが重要であって、その他の文言は2枚とも表である確率には影響しないと考えられます。
むしろ興味深いのは、発言の文言ではなく、表裏確認の仕方ではないでしょうか。すなわち、2枚見たか、1枚だけ見たかが不明という場合です。
1枚だけ見たときと2枚見たときとでは発言の形が異なる可能性が高いので、この分岐は、発言の文言のバリエーションも内包することができます。
いずれにせよ発言中に入れるコトバ「表」「裏」の選択は1枚見たか2枚見たかとは独立と仮定し、かつ、「◎を見た」という形の発言を確率1でするものと仮定して、
1枚だけ見たとして、
「表を見た」と言う確率は½
2枚見たとして、
「表を見た」と言う確率は½
よって、
1枚だけ見た場合
P(2枚とも表=もう1枚も表|「表を見た」)=1/2
2枚見た場合
P(2枚とも表|「表を見た」)=P(「表を見た」|2枚とも表)P(2枚とも表)/P(「表を見た」)=(1×1/4)/1/2 = 1/2
いずれも1/2なので、P(2枚とも表|「表が出てる」)は無条件に1/2。
他方、
「表を見たか」という問いに答えた場合は、
「イエス(表を見た)」と言う確率は、
1枚見たとき½
2枚見たとき3/4なので
1枚だけ見た場合
P(2枚とも表=もう1枚も表|「表を見た」)=1/2
2枚見た場合
P(2枚とも表|「表を見た」)=P(「表を見た」|2枚とも表)P(2枚とも表)/P(「表を見た」)=(1×1/4)/3/4 = 1/3
よって、
2枚とも表である確率pは1/2≦p≦1/3
「表を見たか」という問いに答えて「見た」という場合、2枚とも表の確率はふつう正解1/3ですが、「1枚しか見なかった可能性」を考慮に入れると、正解は1/2以上1/3以下、となるわけです。
ただし、必ず2枚見るつもりだったが1枚見た時点で表だったから「見た」と答えただけ、という場合は「1枚だけ見た」とは見なされません。「1枚だけ見た」は、1枚しか見ないと決めているような場合、あるいは1枚が行方不明になってしまった場合です。
そのような場合は(但し書きがないかぎり)ほとんどない(確率が低い)でしょうから、やはり事実上、1/3またはそれにきわめて近い値が正解となりますね。
Re: 2人の子供問題 - 初投稿者
2022/12/30 (Fri) 21:31:11
「表を見たか?」「イエス」のパターンで、1枚見たのか2枚見たのか分からないときですが、
見た本人が最初から1枚だけ見ると決めているなら1/2、最初から2枚見ると決めているなら1/3で良いと思います。
予め決めておいた見る枚数と、実際に見た枚数が違うというのは稀なので、その確率は無視してしまっても差し支えないと考えるからです。
ただし、最初から2枚見ると決めていたとしても、何か制約があって、1枚しか見ることができないような場合は1/2で良いです。
2枚見るという事象が起こりえない状況であれば、1枚見たのか2枚見たのか回答者が把握していなかったとしても答えは1/2です。
問題となるのは、見る枚数を予め決めていない場合、つまり「偶然見えてしまった」という場合です。
「コインを見る」という行為が本人の意思とは関係ない偶然の産物なら、1枚だけ見るという事象と2枚とも見るという事象がどちらも無視できないような確率で起こり得るため、1/2≦P≦1/3になってしまうというわけです。
そしてこの確率は、★コインを1枚ずつ順番に投げるのか、◆同時に投げるのかで違ってきそうです。
★まずは、1枚ずつ順番にコインを投げる場合。これは私が以前述べたものになります。
1枚ずつコインを投げる場合、コインが偶然見えるという事象はコインを投げた都度に起こり得ると考えられます。
条件を満たす事象は以下の7通りです。
A 1枚目 表(見えた)、 2枚目 表(見えていない)
B 1枚目 表(見えていない)、2枚目 表(見えた)
C 1枚目 表(見えた)、 2枚目 裏(見えていない)
D 1枚目 裏(見えていない)、2枚目 表(見えた)
E 1枚目 表(見えた)、 2枚目 表(見えた)
F 1枚目 表(見えた)、 2枚目 裏(見えた)
G 1枚目 裏(見えた)、 2枚目 表(見えた)
コインが偶然見える確率=αなら、
A=1/4α(1-α)
B=1/4α(1-α)
C=1/4α(1-α)
D=1/4α(1-α)
E=1/4α^2
F=1/4α^2
G=1/4α^2
よって、
P=(A+B+E)/(A+B+C+D+E+F+G)
=(2-α)/(4-α)
コインが偶然見える確率が低いほど、1/2に近づいていくことになりますね。
◆一方、コイン投げを2枚同時に行う場合や、コインを見る機会が2枚のコインを投げ終わった後にしか存在しない場合。
条件を満たす事象は以下の7通りです。
A コイン①表、コイン②表、1枚見える(コイン①が見える)
B コイン①表、コイン②表、1枚見える(コイン②が見える)
C コイン①表、コイン②裏、1枚見える(コイン①が見える)
D コイン①裏、コイン②表、1枚見える(コイン②が見える)
E コイン①表、コイン②表、2枚見える
F コイン①表、コイン②裏、2枚見える
G コイン①裏、コイン②表、2枚見える
コインが偶然1枚見える確率=β、コインが偶然2枚見える確率=γとすると、
(因みに、コインが1枚も見えない確率がδなら、β+γ+δ=1です。)
A=1/4β×1/2
B=1/4β×1/2
C=1/4β×1/2
D=1/4β×1/2
E=1/4γ
F=1/4γ
G=1/4γ
よって、
P=(A+B+E)/(A+B+C+D+E+F+G)
=(β+γ)/(2β+3γ)
コインが偶然1枚見える確率とコインが偶然2枚見える確率のバランスによって確率Pが決まり、
β=γなら、2/5が答えになりますね。
さらに厳密にいうと、1枚ずつ順番にコインを投げる場合であっても、投げ終わった後に改めてコインを偶然見る可能性があると考えるべきかもしれませんが、それを考慮すると複雑になるので割愛します。